[论文解读] Closed Form Solutions of Combinatorial Graph Laplacian Estimation under Acyclic Topology Constraints

Keng-Shih Lu, Antonio Ortega|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Advanced Graph Neural Networks参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在无环拓扑约束下组合图拉普拉斯矩阵估计的闭式解，实现了仅需一个数据样本即可高效构建树图。该方法利用经验协方差矩阵推导出最优边权重，无需迭代优化，相较于双边滤波器在高噪声和稀疏拓扑条件下表现出更优的图像去噪性能。

ABSTRACT

How to obtain a graph from data samples is an important problem in graph signal processing. One way to formulate this graph learning problem is based on Gaussian maximum likelihood estimation, possibly under particular topology constraints. To solve this problem, we typically require iterative convex optimization solvers. In this paper, we show that when the target graph topology does not contain any cycle, then the solution has a closed form in terms of the empirical covariance matrix. This enables us to efficiently construct a tree graph from data, even if there is only a single data sample available. We also provide an error bound of the objective function when we use the same solution to approximate a cyclic graph. As an example, we consider an image denoising problem, in which for each input image we construct a graph based on the theoretical result. We then apply low-pass graph filters based on this graph. Experimental results show that the weights given by the graph learning solution lead to better denoising results than the bilateral weights under some conditions.

研究动机与目标

• 确定图拉普拉斯矩阵估计存在闭式解的充分条件。
• 开发一种快速、非迭代的方法，从有限的数据样本中构建最优树状图结构。
• 当闭式解应用于循环图时，提供理论误差界。
• 在基于图滤波器的图像去噪中，展示该方法的实际应用价值。

提出的方法

• 当图拓扑为无环时，基于经验协方差矩阵推导图拉普拉斯矩阵权重的闭式表达式。
• 采用最大后验概率（MAP）估计框架，针对高斯马尔可夫随机场（GMRFs）使用伪行列式和l1-正则化损失。
• 通过缩放的反距离函数应用该解来构建图权重：$ w_{i,j} = \left[1 + (x_i - x_j)^2 / 2\alpha \right]^{-1} $，该函数近似最优解。
• 基于学习到的拉普拉斯矩阵应用图滤波器进行信号处理，如图像去噪。
• 使用峰值信噪比（PSNR）作为度量，在合成数据和真实图像上验证该方法。
• 采用与噪声水平自适应的参数选择，其中 $ \sigma_d = 3 $，$ \sigma_r = 2\sigma_n $，且 $ \alpha = 4\sigma_n^2 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种图拓扑条件下，组合图拉普拉斯矩阵估计问题能获得闭式解？
• RQ2 能否开发一种非迭代、数据高效的算法，从最少数据中构建树状图结构？
• RQ3 当将闭式解应用于含环图时，其准确性如何，可建立怎样的误差界？
• RQ4 所提出的图权重构造方法在图像去噪任务中是否优于传统的双边滤波？

主要发现

• 当图无环时，图拉普拉斯矩阵权重的闭式解可明确表示为经验协方差矩阵的函数。
• 该方法可仅用一个数据样本实现图构建，与迭代求解器相比显著降低了计算成本。
• 在图像去噪任务中，所提出的权重实现的PSNR高于双边滤波器，尤其在高噪声水平下（例如30 dB噪声），部分情况下提升高达1.5 dB。
• 在高噪声水平下，5×5窗口拓扑结合闭式权重在4幅测试图像中的3幅上优于双边滤波器，PSNR提升最高达1.5 dB。
• 5邻域拓扑虽然精度略低，但计算复杂度最低，且在高噪声水平下仍具竞争力。
• 当将无环解应用于循环图时，建立了目标函数的误差界，验证了其在实际场景中的鲁棒性。