[论文解读] Closure Properties of Synchronized Relations

Winter, Sarah|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

semigroups and automata theory参考文献 2被引用 1

一句话总结

本文提出了一种自动关系在有限字上的统一化问题的新变体，其中统一化的子序列转换器必须遵循指定的一组同步约束。通过刻画同步语言并将问题约化为重同步正则语言上的子集统一化问题，作者证明了在一大类同步约束下该问题的可判定性，从而推广了先前关于同步或任意子序列转换器的统一化结果。

ABSTRACT

A standard approach to define k-ary word relations over a finite alphabet A is through k-tape finite state automata that recognize regular languages L over {1, ..., k} x A, where (i,a) is interpreted as reading letter a from tape i. Accordingly, a word w in L denotes the tuple (u_1, ..., u_k) in (A^*)^k in which u_i is the projection of w onto i-labelled letters. While this formalism defines the well-studied class of rational relations, enforcing restrictions on the reading regime from the tapes, which we call synchronization, yields various sub-classes of relations. Such synchronization restrictions are imposed through regular properties on the projection of the language L onto {1, ..., k}. In this way, for each regular language C subseteq {1, ..., k}^*, one obtains a class Rel({C}) of relations. Synchronous, Recognizable, and Length-preserving rational relations are all examples of classes that can be defined in this way. We study basic properties of these classes of relations, in terms of closure under intersection, complement, concatenation, Kleene star and projection. We characterize the classes with each closure property. For the binary case (k=2) this yields effective procedures.

研究动机与目标

• 为填补统一化问题中的空白，通过在子序列转换器上引入同步约束。
• 通过同步或任意子序列转换器的统一化问题的现有可判定性结果进行推广。
• 证明当允许的输入/输出行为受正则同步语言限制时，统一化问题仍保持可判定性。
• 建立从同步约束统一化问题到重同步正则语言上子集统一化问题的约化。
• 为通过同步语言在自动关系背景下指定和验证转换器行为提供一个正式框架。

提出的方法

• 将输入和输出字对表示为带有索引（1表示输入，2表示输出）的同步字符串，形成同步语言。
• 使用{1,2}*上的正则语言定义同步约束，以建模允许的延迟和输出行为。
• 构建一个重同步自动机，通过有限状态控制和有界延迟跟踪，模拟在同步约束下的原始关系。
• 将T-控制的统一化问题约化为导出的正则语言Tk(S)上的子集统一化问题，其中Tk捕捉允许的同步行为。
• 利用已知的正则语言子集统一化可判定性结果，得出主问题可判定的结论。
• 使用状态转换树和基于延迟的分析，验证所构造的转换器是否尊重同步约束并保持确定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将自动关系的统一化问题扩展到统一化转换器必须遵守特定输入/输出同步集合的情形？
• RQ2 给定一个自动关系，是否存在一个由正则同步语言约束行为的子序列转换器对其进行统一化，该问题是否可判定？
• RQ3 如何形式化表示并整合同步约束到统一化转换器的合成过程中？
• RQ4 T-控制统一化与重同步语言上的子集统一化之间有何关系？
• RQ5 当通过捕捉有限偏移延迟特性的同步语言限制转换器行为时，统一化的可判定性是否仍能保持？

主要发现

• 使用受正则同步语言约束的子序列转换器对自动关系进行统一化的问题是可判定的。
• 该可判定性结果推广了先前关于同步或任意子序列转换器统一化结果。
• 统一化问题可约化为一个可有效构造的重同步正则语言Tk(S)上的子集统一化问题。
• 该构造通过在有界范围内跟踪输入延迟和输出长度，确保所得到的转换器尊重同步约束。
• 证明依赖于将输入字重同步为(12)*-控制形式，并使用有限状态模拟验证其与原始关系的一致性。
• 关键洞见是：任何T-控制的统一化器均可转换为某个适当k的Tk-控制统一化器，从而实现向可判定的子集统一化问题的约化。