[论文解读] Closures and generating sets related to combinations of structures

S. V. Sudoplatov|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

semigroups and automata theory被引用 21

一句话总结

本文研究在一阶结构及其理论的 $E$-组合与 $P$-组合背景下，闭包算子与生成集的性质。研究证明，在 $E$-组合中，最小生成集的存在性等价于最小生成集的存在性，并提供了该性质的句法与语义刻画。主要贡献在于，基于底层指标集的序理论性质，完整刻画了线性有序语言均匀理论中此类最小生成集存在的条件。

ABSTRACT

We investigate closure operators and describe their properties for $E$-combinations and $P$-combinations of structures and their theories. We prove, for $E$-combinations, that the existence of a minimal generating set of theories is equivalent to the existence of the least generating set, and characterize syntactically and semantically the property of the existence of the least generating set. For the class of linearly ordered language uniform theories we solve the problem of the existence of least generating set with respect to $E$-combinations and characterize that existence in terms of orders.

研究动机与目标

• 分析一阶结构的 $E$-组合与 $P$-组合中的闭包算子与生成集。
• 确定 $E$-组合中理论的最小生成集何时对应于最小生成集。
• 对 $E$-组合中的最小生成集存在性进行句法与语义刻画。
• 解决线性有序语言均匀理论类中最小生成集的存在性问题。
• 描述线性有序语言均匀理论的 $E$-组合的 $e$-谱。

提出的方法

• 引入 $E$-算子与 $P$-算子，以在结构组合上定义拓扑。
• 将 $E$-组合定义为通过等价关系 $E$ 划分论域所形成的结构，其中每个类元素同构于给定结构。
• 使用闭包算子 $\mathrm{Cl}_E(\mathcal{T}_0)$ 生成所有在模型 $E$-类中可实现的理论集合。
• 对理论的指标集应用序理论分析，特别关注稠密与离散的序类型。
• 构造具有特定聚点配置的模型，以实现所需的 $e$-谱。
• 应用 Morleyzation 及语言扩张，以在理论扩展下保持或改变生成集的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $E$-组合中，理论的最小生成集何时与最小生成集重合？
• RQ2 哪些句法与语义条件可确保 $E$-组合中最小生成集的存在性？
• RQ3 对于哪些线性有序语言均匀理论，$E$-组合允许存在最小生成集？
• RQ4 $E$-组合的 $e$-谱如何依赖于理论指标集的序类型？
• RQ5 哪些基数可作为 $\mathrm{IILU}$-理论的 $E$-组合的 $e$-谱？

主要发现

• 在 $E$-组合中，最小生成集的存在性等价于最小生成集的存在性。
• 最小生成集的存在性在句法与语义上均通过理论的模型论结构进行刻画。
• 对于线性有序语言均匀理论，最小生成集的存在性对应于理论指标集序同构于具有有限个或可数个聚点的离散线性序。
• 当指标集包含稠密区间时，闭包算子 $\mathrm{Cl}_E(\mathcal{T}_0)$ 不允许存在最小生成集。
• 对任意无限基数 $\lambda$，存在一个 $\mathrm{IILU}$-理论的 $E$-组合，其 $e$-谱至少为 $\max\{2^\omega, \lambda\}$，表明在无 $e$-最小模型时 $e$-谱可无界。
• 对任意 $\mu \leq \omega$，存在一个 $\mathrm{IILU}$-理论的 $E$-组合，其 $e$-谱恰好为 $\mu$；对不可数的 $\lambda$，也存在一个 $E$-组合，其 $e$-谱为 $\lambda$。