[论文解读] CLS: New Problems and Completeness

John Fearnley, Spencer Gordon+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2017

Semantic Web and Ontologies参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文提出了一个新的问题 EndOfPotentialLine，该问题通过捕捉单调的、由势函数驱动的路径，统一了 PPAD 和 PLS 的特性，并通过与 EndOfMeteredLine 的双向归约证明其属于 CLS。此外，本文进一步将 P-LCP 归约至 EndOfPotentialLine，使其成为 CLS-完全性的强有力候选，并解决了复杂性理论中长期存在的一个开放问题。

ABSTRACT

The complexity class CLS was introduced by Daskalakis and Papadimitriou with the goal of capturing the complexity of some well-known problems in PPAD$~\cap~$PLS that have resisted, in some cases for decades, attempts to put them in polynomial time. No complete problem was known for CLS, and in previous work, the problems ContractionMap, i.e., the problem of finding an approximate fixpoint of a contraction map, and PLCP, i.e., the problem of solving a P-matrix Linear Complementarity Problem, were identified as prime candidates. First, we present a new CLS-complete problem MetaMetricContractionMap, which is closely related to the ContractionMap. Second, we introduce EndOfPotentialLine, which captures aspects of PPAD and PLS directly via a monotonic directed path, and show that EndOfPotentialLine is in CLS via a two-way reduction to EndOfMeteredLine. The latter was defined to keep track of how far a vertex is on the PPAD path via a restricted potential function. Third, we reduce PLCP to EndOfPotentialLine, thus making EndOfPotentialLine and EndOfMeteredLine at least as likely to be hard for CLS as PLCP. This last result leverages the monotonic structure of Lemke paths for PLCP problems, making EndOfPotentialLine a likely candidate to capture the exact complexity of PLCP; we note that the structure of Lemke-Howson paths for finding a Nash equilibrium in a two-player game very directly motivated the definition of the complexity class PPAD, which eventually ended up capturing this problem's complexity exactly.

研究动机与目标

• 为解决复杂性类 CLS 缺乏已知完备问题的问题，该类捕捉了具有连续优化结构的 PPAD ∩ PLS 问题。
• 识别并形式化一个新问题 EndOfPotentialLine，其自然地捕捉了 P-矩阵 LCP 中 Lemke 路径的单调路径结构。
• 通过与先前研究过的、具有查询复杂度下界的 EndOfMeteredLine 的多项式时间双向归约，证明 EndOfPotentialLine 属于 CLS。
• 将 P-LCP 归约至 EndOfPotentialLine，从而确立 P-LCP 不比 EndOfPotentialLine 更难，提示其可能为 CLS-完全。
• 通过势函数统一 PPAD 与 PLS 的电路化视角，提供一个更自然的候选问题，以确立 CLS-完备性。

提出的方法

• 将 EndOfPotentialLine 定义为一个总搜索问题：保证存在一条势函数递减的有向路径，解为汇点或势函数单调性被违反的位置。
• 通过将势值编码为路径距离，构建从 EndOfPotentialLine 到 EndOfMeteredLine 的多项式时间归约，保持路径结构与单调性。
• 通过使用追踪进展的势函数模拟带计量的路径遍历，证明从 EndOfMeteredLine 到 EndOfPotentialLine 的反向归约。
• 通过将 Lemke 路径步骤编码为势函数递减的移动，利用 Lemke 算法已知的单调性，证明 P-LCP 可归约至 EndOfPotentialLine。
• 利用 EndOfPotentialLine 与 EndOfMeteredLine 之间的双向归约，确立 EndOfPotentialLine 属于 CLS，因为 EndOfMeteredLine 已知属于 CLS。
• 通过证明其在多项式时间归约下可归约至并来自 Contraction，引入 MetametricContraction 作为新 CLS-完全问题，其与 Contraction 密切相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一个新问题，自然捕捉 P-矩阵 LCP 中 Lemke 路径的单调路径结构，且其属于 CLS？
• RQ2 EndOfPotentialLine 是否可多项式时间归约至 EndOfMeteredLine，反之亦然，从而在多项式时间归约下确立其等价性？
• RQ3 能否将 P-LCP 归约至 EndOfPotentialLine，从而表明 P-LCP 不比该新问题更难，并提示其可能为 CLS-完全？
• RQ4 在 PPAD 风格路径上存在一个递减的势函数，是否提供了比先前构造更自然的 CLS 框架？
• RQ5 能否证明 MetametricContraction 为 CLS-完全，从而为该类提供一个新标准问题？

主要发现

• EndOfPotentialLine 属于 CLS，因其可通过多项式时间双向归约至 EndOfMeteredLine，而后者已知属于 CLS。
• 将 P-LCP 归约至 EndOfPotentialLine 的结果表明，P-LCP 不比 EndOfPotentialLine 更难，使 EndOfPotentialLine 成为 CLS-完全性的强有力候选。
• 证明了 MetametricContraction 为 CLS-完全，提供了首个已知的、超出 Contraction 和 P-LCP 候选问题的 CLS-完备问题。
• EndOfPotentialLine 与 EndOfMeteredLine 之间的双向归约表明，尽管 EndOfPotentialLine 更为一般，二者在多项式时间归约下等价。
• 本文通过利用 Lemke 路径的势函数结构，以新路径证明了 P-LCP 属于 CLS，这一结构此前未在此语境中被利用。
• 结果表明，EndOfPotentialLine 可能是捕捉 P-LCP 精确复杂度的正确复杂性类，类似于 PPAD 捕捉纳什均衡的方式。