[论文解读] CLT for linear spectral statistics of large dimensional sample covariance matrices with dependent data

Shurong Zheng, Zhidong Bai+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文在高维极限下（𝑝/𝑛 → 𝑦 > 0）建立了依赖数据的大维样本协方差矩阵的线性谱统计量的中心极限定理（CLT），推广了Bai与Silverstein（2004）的结果，允许混合矩阵𝐐具有任意或无限维。关键贡献是提出了一个CLT，用于刻画在高维渐近下特征值线性统计量的波动，从而在存在依赖性或无限维输入的情况下，实现对高维协方差结构的统计推断。

ABSTRACT

This paper investigates the central limit theorem for linear spectral statistics of high dimensional sample covariance matrices of the form $\mathbf{B}_n=n^{-1}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{Q}\mathbf{x}_j\mathbf{x}_j^{*}\mathbf{Q}^{*}$ where $\mathbf{Q}$ is a nonrandom matrix of dimension $p imes k$, and $\{\mathbf{x}_j\}$ is a sequence of independent $k$-dimensional random vector with independent entries, under the assumption that $p/n o y>0$. A key novelty here is that the dimension $k\ge p$ can be arbitrary, possibly infinity. This new model of sample covariance matrices $\mathbf{B}_n$ covers most of the known models as its special cases. For example, standard sample covariance matrices are obtained with $k=p$ and $\mathbf{Q}=\mathbf{T}_n^{1/2}$ for some positive definite Hermitian matrix $\mathbf{T}_n$. Also with $k=\infty$ our model covers the case of repeated linear processes considered in recent high-dimensional time series literature. The CLT found in this paper substantially generalizes the seminal CLT in Bai and Silverstein (2004). Applications of this new CLT are proposed for testing the structure of a high-dimensional covariance matrix. The derived tests are then used to analyse a large fMRI data set regarding its temporary correlation structure.

研究动机与目标

• 将经典样本协方差矩阵线性谱统计量的CLT推广至具有依赖数据和任意或无限维输入维度的设定。
• 建立形如𝑝⁻¹∑𝑓(𝜆ᵢ)的线性谱统计量的中心极限定理，其中{𝜆ᵢ}为大维样本协方差矩阵𝐁ₙ = 𝑛⁻¹𝐐𝐗ₙ𝐗ₙ*𝐐*的特征值。
• 为高维协方差矩阵在存在时间或截面依赖性时的统计推断提供理论基础。
• 将现有CLT框架的适用性扩展至重复线性过程和具有无限维创新项的高维时间序列等模型。
• 利用推导出的CLT构造高维协方差矩阵结构的假设检验统计量，尤其适用于fMRI数据分析等场景。

提出的方法

• 提出广义样本协方差矩阵模型𝐁ₙ = 𝑛⁻¹𝐐𝐗ₙ𝐗ₙ*𝐐*，其中𝐐为𝑝×𝑘的非随机矩阵，{𝐱ⱼ}为具有i.i.d.标准化分量的𝑘维独立随机向量。
• 引入高维渐近框架，满足𝑝/𝑛 → 𝑦 > 0，并允许𝑘 ≥ 𝑝，包括𝑘 = ∞的情况，以建模无限维或依赖的数据结构。
• 采用截断、中心化和标准化技术，控制数据矩阵𝐗ₙ中重尾或依赖分量的影响。
• 利用斯蒂尔杰斯变换方法和谱范数分析，推导线性谱统计量的极限分布。
• 应用鞅差分方法和矩不等式，证明归一化线性谱统计量的分布收敛性。
• 建立谱分布的几乎必然收敛性，并刻画线性谱统计量的极限均值函数与方差函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当数据具有依赖性且输入维度𝑘为任意或无限时，能否为大维样本协方差矩阵的线性谱统计量建立中心极限定理？
• RQ2 当混合矩阵𝐐的列数多于行数（𝑘 ≥ 𝑝）时，包括𝑘 = ∞的情况，线性谱统计量的极限分布如何变化？
• RQ3 在高维依赖数据背景下，新CLT在多大程度上推广了Bai与Silverstein（2004）的开创性结果？
• RQ4 推导出的CLT能否用于构建高维协方差结构检验的有效检验统计量，特别是在时间序列或fMRI数据中？
• RQ5 在高维极限下，此类广义样本协方差矩阵的谱统计量收敛于高斯分布的条件是什么？

主要发现

• 本文在高维渐近框架𝑝/𝑛 → 𝑦 > 0下，为形如𝑝⁻¹∑𝑓(𝜆ᵢ)的线性谱统计量建立了中心极限定理，其中{𝜆ᵢ}为样本协方差矩阵𝐁ₙ = 𝑛⁻¹𝐐𝐗ₙ𝐗ₙ*𝐐*的特征值，且𝑘为任意或无限维。
• 线性谱统计量的极限分布被完整刻画，中心化项与渐近方差均有显式表达式，推广了Bai与Silverstein（2004）至依赖与无限维设定。
• 该CLT在𝐱ⱼ分量的矩条件下成立，具体要求𝐸|𝑥ᵢⱼ|⁴ < ∞，并辅以截断条件以确保渐近尾部效应可忽略。
• 已建立𝐁ₙ谱分布收敛至非随机极限，其极限谱分布依赖于𝐐的奇异值及分量的四阶矩。
• 本文证明了𝐁ₙ的经验谱分布几乎必然收敛至确定性极限，且线性谱统计量依分布收敛至均值与方差完全确定的正态分布。
• 所推导的CLT被应用于检验高维协方差矩阵的结构，该方法在大规模fMRI数据集中成功分析了时间相关性结构。