[论文解读] Cluster duality and mirror symmetry for Grassmannians

Konstanze Rietsch, Lauren Williams|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 12

一句话总结

本文建立了格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}_{n-k}(\mathbb{C}^n)$ 上的 Newton-Okounkov 多面体 $NO_G^r$ 与镜像 Landau-Ginzburg 模型中超势能经热带化后得到的多面体 $Q_G^r$ 之间的直接对应关系。通过使用簇结构与平面图（plabic 图），本文证明了来自镜像对称 $A$-模型与 $B$-模型的这两个多面体完全一致，揭示了格拉斯曼流形中簇对偶性与镜像对称性之间的一种新对偶关系。

ABSTRACT

In this article we use the cluster structure on the Grassmannian and the combinatorics of plabic graphs to exhibit a new aspect of mirror symmetry for Grassmannians in terms of polytopes. For our $A$-model, we consider the Grassmannian $\mathbb X=Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$. The $B$-model is a Landau-Ginzburg model $(\check{\mathbb X}^\circ, W_q:\check{\mathbb X}^\circ o \mathbb{C})$, where $\check{\mathbb X}^\circ$ is the complement of a particular anti-canonical divisor in a Langlands dual Grassmannian $\check{\mathbb X} = Gr_k((\mathbb{C}^n)^*)$, and the superpotential $W_q$ has a simple expression in terms of Plücker coordinates, see [MarshRietsch]. From a given plabic graph $G$ we obtain two coordinate systems: using work of Postnikov and Talaska we have a positive chart $Φ_G:(\mathbb{C}^*)^{k(n-k)} o \mathbb X$ in our $A$-model, and using work of Scott we have a cluster chart $Φ_G^{\vee}:(\mathbb{C}^*)^{k(n-k)} o \check{\mathbb X}$ in our $B$-model. To each positive chart $Φ_G$ and choice of positive integer $r$, we associate a polytope $NO_G^r$, which we construct as the convex hull of a set of integer lattice points. This polytope is an example of a Newton-Okounkov polytope associated to the line bundle $\mathcal O(r)$ on $\mathbb X$. On the other hand, using the cluster chart $Φ_G^{\vee}$ and the same positive integer $r$, we obtain a polytope $Q_G^r$ -- described in terms of inequalities -- by "tropicalizing" the composition $W_{t^r}\circ Φ_G^{\vee}$. Our main result is that the polytopes $NO_G^r$ and $Q_G^r$ coincide.

研究动机与目标

• 通过簇结构与平面图的视角，探索格拉斯曼流形的镜像对称性。
• 从 $A$-模型格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}_{n-k}(\mathbb{C}^n)$ 上的正图 charts 构造 Newton-Okounkov 多面体 $NO_G^r$。
• 通过镜像 Landau-Ginzburg 模型中 $W_{t^r} \circ \Phi_G^\vee$ 的热带化，定义镜像多面体 $Q_G^r$。
• 建立来自相同平面图 $G$ 与整数 $r$ 的 $A$-模型与 $B$-模型多面体之间的精确几何对应关系。

提出的方法

• 利用 Postnikov 与 Talaska 构造的正图 $\Phi_G: (\mathbb{C}^*)^{k(n-k)} \to \mathbb{X}$，其中 $\mathbb{X} = \mathrm{Gr}_{n-k}(\mathbb{C}^n)$ 为格拉斯曼流形。
• 在 Langlands 对偶格拉斯曼流形 $\check{\mathbb{X}} = \mathrm{Gr}_k((\mathbb{C}^n)^*)$ 上应用 Scott 的簇图 $\Phi_G^\vee: (\mathbb{C}^*)^{k(n-k)} \to \check{\mathbb{X}}$。
• 将 Newton-Okounkov 多面体 $NO_G^r$ 构造为 $\mathbb{X}$ 上线丛 $\mathcal{O}(r)$ 关联的整数格点的凸包。
• 通过热带化复合函数 $W_{t^r} \circ \Phi_G^\vee$ 定义镜像多面体 $Q_G^r$，其中 $W_q$ 是以普吕克坐标表示的超势能。
• 利用平面图的组合性质，将 $\mathbb{X}$ 上的簇结构与 $\check{\mathbb{X}}^\circ$ 上的镜像几何联系起来。
• 通过平面图 $G$ 与参数 $r$ 所编码的共同组合数据，建立 $NO_G^r = Q_G^r$ 的等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 簇结构与平面图如何用于构造格拉斯曼流形的镜像对称多面体？
• RQ2 在 $A$-模型中的 Newton-Okounkov 多面体与 $B$-模型中热带化超势能多面体之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否利用 $\mathbb{X}$ 与 $\check{\mathbb{X}}$ 上簇图的对偶性，通过多面体重合实现镜像对称？
• RQ4 平面图的组合结构在多大程度上统一了此镜像对偶关系中的 $A$-模型与 $B$-模型构造？
• RQ5 镜像空间 $\check{\mathbb{X}}^\circ$ 上的超势能 $W_q$ 是否产生与 $A$-模型中 Newton-Okounkov 多面体一致的多面体？

主要发现

• 由格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}_{n-k}(\mathbb{C}^n)$ 上正图 $\Phi_G$ 构造的 Newton-Okounkov 多面体 $NO_G^r$，与在镜像 Landau-Ginzburg 模型中对 $W_{t^r} \circ \Phi_G^\vee$ 进行热带化所得的多面体 $Q_G^r$ 完全重合。
• 该重合关系对任意平面图 $G$ 与任意正整数 $r$ 成立，确立了簇几何与镜像几何之间普遍存在的对偶性。
• 该构造表明，$A$-模型格拉斯曼流形上的簇结构与 $B$-模型镜像超势能之间，通过平面图的相同组合数据存在深刻联系。
• 该结果以多面体为媒介，为格拉斯曼流形的镜像对称性提供了新的实现方式，通过共享的几何对象将簇对偶性与镜像对称性统一起来。
• 镜像空间 $\check{\mathbb{X}}^\circ$ 上的超势能 $W_q$ 在普吕克坐标下具有简洁表达式，使得 $Q_G^r$ 可通过热带化进行显式计算。
• $NO_G^r$ 与 $Q_G^r$ 均定义在相同的 $k(n-k)$-维空间中，其等式关系证实了在此设定下 $A$-模型与 $B$-模型之间存在强烈的对偶性。