[论文解读] Clustering function: a measure of social influence

Mindaugas Bloznelis, Valentas Kurauskas|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2012

Complex Network Analysis Techniques参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文引入聚类函数这一新概念，作为社会影响力的一种度量，定义为在两顶点共享 r 个共同邻居的条件下它们相邻的条件概率。该文分析了真实网络（演员网络与 Facebook 网络）及随机交集图模型，发现聚类函数表现出令人惊讶的规律性，并推导出具有幂律度分布和非消失聚类的随机交集图中聚类函数的一阶渐近表达式。

ABSTRACT

A commonly used characteristic of statistical dependence of adjacency relations in real networks, the clustering coefficient, evaluates chances that two neighbours of a given vertex are adjacent. An extension is obtained by considering conditional probabilities that two randomly chosen vertices are adjacent given that they have r common neighbours. We denote such probabilities cl(r) and call r-> cl(r) the clustering function. We compare clustering functions of several networks having non-negligible clustering coefficient. They show similar patterns and surprising regularity. We establish a first order asymptotic (as the number of vertices tends to infinity) of the clustering function of related random intersection graph models admitting nonvanishing clustering coefficient and asymptotic degree distribution having a finite second moment.

研究动机与目标

• 引入并形式化聚类函数作为网络中社会影响力的度量，定义为在给定两顶点有 r 个共同邻居的条件下其相邻的条件概率。
• 分析真实世界网络（特别是演员网络与类似大学的 Facebook 网络）中的经验聚类函数，揭示其一致且规律的模式。
• 对随机交集图模型中的聚类函数建立严格的渐近分析，这类模型已知可生成具有幂律度分布和可调聚类的网络。
• 在最小矩条件之下，推导出随机交集图中聚类函数的一阶渐近表达式，将网络结构属性与随机模型参数联系起来。

提出的方法

• 定义聚类函数 $ cl_{\cal G}(r) = \mathbb{P}(v_1^* \sim v_2^* \mid d(v_1^*, v_2^*) = r) $，其中 $ v_1^*, v_2^* $ 为均匀随机选取的不同顶点。
• 定义累积聚类函数 $ Cl_{\cal G}(r) = \mathbb{P}(v_1^* \sim v_2^* \mid d(v_1^*, v_2^*) \geq r) $，用于捕捉至少具有 r 个共同邻居时的影响。
• 利用三个演员网络（英语、法语、俄语）和三个大学社交网络的数据，分析经验聚类函数，观察到一致的函数模式。
• 使用随机交集图建模网络：为顶点分配随机属性集合；当集合相交时形成边。
• 应用渐近概率分析，结合包含-排除原理与矩界估计 $ \mathbb{P}(v_1^* \sim v_2^* \mid d(v_1^*, v_2^*) = r) $，在 $ n \to \infty $ 的极限下进行推导，且仅在最小矩条件下成立。
• 使用指示函数与截断（如 $ \mathcal{A}^* = \{A_3 < n^{1/4}\} $）控制尾部概率，推导出 $ \mathbb{P}({\cal D}) $（即三元组恰好有 r 个共同邻居且两两相邻的概率）的紧致界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在真实世界网络中，两顶点之间存在边的概率如何依赖于其共同邻居的数量？
• RQ2 真实网络（如演员网络与类似大学的 Facebook 网络）是否在聚类函数中表现出规律且可预测的模式？
• RQ3 当顶点数 $ n \to \infty $ 时，随机交集图模型中聚类函数的渐近行为如何？
• RQ4 能否在具有非消失聚类和有限二阶矩度分布的随机交集图中，推导出聚类函数的一阶渐近表达式？
• RQ5 随机交集图模型的参数（如属性概率、度矩）如何影响聚类函数？

主要发现

• 演员网络与大学网络的经验聚类函数在不同网络规模与聚类系数下均表现出一致且规律的模式。
• 聚类函数 $ cl(r) $ 随 $ r $ 增加而衰减，表明共同邻居数量越多，相邻的条件概率越低，暗示社会影响力在超过某一阈值后递减。
• 对于随机交集图，渐近聚类函数 $ cl(r) $ 被证明收敛于一个涉及模型参数 $ a_1, a_2, b_2, b_3 $ 的一阶表达式，其中 $ \mathbb{P}({\cal D}) = \varkappa_1 + \varkappa_2 + o(n^{-2}) $，且 $ \varkappa_1, \varkappa_2 $ 由矩导出。
• 渐近分析证实，随机交集图能够生成具有幂律度分布和非消失聚类的网络，与真实世界观察一致。
• 所推导的渐近表达式在最小矩条件下成立，确保了其在广泛类别的随机交集图模型中的鲁棒性与适用性。
• 在给定 r 个共同邻居的条件下，三个顶点两两相邻的概率渐近为 $ \varkappa_1 + \varkappa_2 + o(n^{-2}) $，其中 $ \varkappa_1 \sim a_1^3 b_3 (nm)^{-3/2} $，从而建立了模型参数与聚类行为之间的精确定量联系。