[论文解读] CM-lifts for Isogeny Classes of Shimura F-crystals over Finite Fields

Adrian Vasiu|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2003

Finite Group Theory Research参考文献 52被引用 5

一句话总结

本文证明了有限域上希伽玛F-晶体等价类在混合特征 (0,p) 下的提升存在性，推广了津克关于具有复乘法的阿贝尔簇的结果。通过使用共轭权的可容许性与内自同构，构造了离散赋值环上的积分模型，证明了在约化群概形作用于迪奥德内模块的情形下，此类提升存在。

ABSTRACT

We extend to large contexts pertaining to Shimura varieties of Hodge type a result of Zink on the existence of lifts to characteristic 0 of suitable representatives of certain isogeny classes of abelian varieties endowed with Frobenius and other endomorphisms over $\dbF_{p^q}$, whose $p$-divisible groups in mixed characteristic $(0,p)$ are with complex multiplication.

研究动机与目标

• 将津克关于阿贝尔簇的复乘法提升结果推广至希伽玛型希伽玛簇的更广泛背景。
• 证明有限域上希伽玛F-晶体等价类在混合特征 (0,p) 下的提升存在性。
• 通过共轭权可容许性与内自同构，在约化群概形的背景下刻画此类提升。
• 通过带复乘法的过滤F-晶体，为构造希伽玛簇的积分模型提供框架。

提出的方法

• 利用约化群概形理论与韦伊限制，在有限域上定义并分析希伽玛过滤F-晶体。
• 应用迪奥德内模理论，通过带有σ-线性自同态的自由W(k)-模表示p-可除群。
• 采用共轭权可容许条件，以确保与霍奇结构及复乘法的相容性。
• 利用群概形G(B(k))中的内自同构，通过伽罗瓦理论意义下的共轭分类F-晶体的等价类。
• 在W(k)的有限扩张上进行基变换后，应用[ Zi1, 定理4.4 ]与[ Ha, 引理5.5.3 ]的结果构造提升。
• 证明可容许过滤模在直和下稳定，从而可在约化群概形的单个分量上使用归纳论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，有限域上希伽玛F-晶体的等价类可提升至混合特征 (0,p)？
• RQ2 如何通过共轭权可容许性与群概形作用来刻画此类提升的存在性？
• RQ3 G(B(k))中的内自同构在分类具有复乘法的F-晶体等价类中起什么作用？
• RQ4 该提升结果能否通过F-晶体数据从阿贝尔簇推广至一般希伽玛型希伽玛簇？
• RQ5 自同态的李代数与滤子F^1如何相互作用，以确保提升后基环上过滤模的可容许性？

主要发现

• 若关联的共轭权是可容许的，则有限域F_q上希伽玛F-晶体的等价类可提升至混合特征 (0,p) 的离散赋值环。
• 对每个h ∈ I(C)，三元组(h(M), φ, G(h))构成k上一个希伽玛F-晶体，且此类三元组在内自同构意义下被分类。
• CM提升的存在性等价于在提升基环上，过滤模(M[1/p], φ, F^1 ∩ M[1/p])的可容许性。
• 该构造在直和下保持稳定，从而可约化至约化群概形的导出群的简单分量。
• 霍奇共轭权μ₁从K₁扩展至K₂，并在适当共轭下与原始F-晶体的共轭权一致。
• GL_M[1/p]中T₁,B(k)的中心化子是一个包含T′₁,B(k)的环面，其李代数在B(k)上由e_A的元素生成。