[论文解读] CM Stability and the Generalized Futaki Invariant I

Sean Timothy Paul, Gang Tian|ArXiv.org|May 10, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用 66

一句话总结

本文通过利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理和凯莱结式理论的行列式线丛，对希尔伯特概形上的CM极化进行了精细化，建立了代数几何与K-稳定性之间的深刻联系。证明了一维参数子群作用下，精细化CM极化的权等于广义福塔基不变量，从而表明CM稳定性蕴含K-稳定性。

ABSTRACT

Based on the Cayley, Grothendieck, Knudsen Mumford theory of determinants we extend the CM polarization to the Hilbert scheme. We identify the weight of this refined line bundle with the generalized Futaki invariant of Donaldson. We are able to conclude that CM stability implies K-Stability. An application of the Grothendieck Riemann Roch Theorem shows that this refined sheaf is isomorphic to the CM polarization introduced by Tian in 1994 on any closed, simply connected base .

研究动机与目标

• 通过格罗滕迪克、凯莱和克尼登森-芒福德的理论，将CM极化扩展到希尔伯特概形，使用行列式线丛。
• 在希尔伯特概形上定义一个精细化CM极化 $\mathbb{L}_1$，通过 $\mathbb{L}_1$ 捕捉广义福塔基不变量。
• 证明该精细化线丛在 $\mathbb{C}^*$-作用下的权等于相应退化对应的广义福塔基不变量。
• 通过证明CM稳定性下广义福塔基不变量消失，建立CM稳定性蕴含K-稳定性的结论。
• 证明当基空间单连通或光滑时，精细化CM极化与田刚引入的原始CM极化同构。

提出的方法

• 利用Chow型、直接像的行列式以及希尔伯特多项式中的系数 $\mu$，在希尔伯特概形上构造精细化CM极化 $\mathbb{L}_1$。
• 应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，计算 $\mathbb{L}_1$ 的第一陈类，将其与 $\mathbf{X}/S$ 上的曲率及特征类联系起来。
• 利用凯莱–格罗滕迪克–克尼登森–芒福德的行列式理论，将精细化线丛 $\mathbb{L}_1$ 定义为Chow型与行列式丛的幂的张量积。
• 在 $\mathbb{L}_1$ 上建立 $G = SL(N+1,\mathbb{C})$-线性化，使得可通过一维参数子群研究 $\mathbb{C}^*$-作用。
• 计算 $\mathbb{C}^*$-作用在 $\mathbb{L}_1^\vee$ 的对偶在不动点 $z_0 = \lambda(0)z$ 处的权 $w_\lambda(z)$，证明其等于广义福塔基不变量 $F_1(\lambda)$。
• 利用主理想环上挠模的结构，计算同调复形的行列式，将零点的阶数与结式 $R_X$ 关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用行列式线丛与特征类，对希尔伯特概形上的CM极化进行精细化？
• RQ2 在 $\mathbb{C}^*$-作用下，精细化CM线丛的权与广义福塔基不变量之间有何关系？
• RQ3 CM稳定性是否蕴含K-稳定性？若然，这在广义福塔基不变量消失中如何体现？
• RQ4 在何种条件下，精细化CM极化与田刚引入的原始CM极化同构？
• RQ5 结式理论与同调复形中挠模的结构如何决定行列式线丛的零点阶数？

主要发现

• 在不动点处，精细化CM线丛 $\mathbb{L}_1^\vee$ 的对偶上 $\mathbb{C}^*$-作用的权等于广义福塔基不变量 $F_1(\lambda)$，即 $w_\lambda(z) = F_1(\lambda)$。
• 线丛 $\mathbb{L}_1$ 的第一陈类为 $c_1(\mathbb{L}_1) = p_{1*}(c_1(K_{\mathbf{X}/S})c_1(L)^n + \mu c_1(L)^{n+1})$，将曲率与几何不变量联系起来。
• 当基空间 $S$ 单连通，或格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理成立且 $\operatorname{Pic}(S) \to H^2(S,\mathbb{Z})$ 为单射时，精细化CM极化 $\mathbb{L}_1$ 与原始CM极化 $\mathbb{L}_S$ 同构。
• 同调复形行列式的零点阶数由结式 $R_X$ 决定，满足 $\operatorname{ord}_{R_X}(\det) = (-1)^{n+1}$，且行列式可识别为 $R_X^{(-1)^{n+1}}$。
• 纤维 $\mathbf{X}_z$ 上的Mabuchi能量通过 $d(n+1)\nu_{\omega|_{\mathbf{X}_z}}(\varphi_\sigma) = \log(e^{(n+1)\Psi_S(\sigma z)} \frac{||||^2(\sigma z)}{||||^2(z)})$ 与精细化CM线丛的范数相关联，表明能量由线丛控制。
• 广义福塔基不变量 $F_1(\lambda)$ 对所有 $\lambda$ 恒为零，当且仅当族是CM稳定的，从而确立了CM稳定性 $\Rightarrow$ K-稳定性。