[论文解读] CM-stability of blow-ups and canonical metrics

Alberto Della Vedova|ArXiv.org|Oct 30, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 8

一句话总结

该论文为沿平坦闭子概形进行爆破后平坦族的CM-线丛建立了渐近公式，将CM-稳定性与爆破中心的相对Chow稳定性联系起来。关键结果表明，当例外除子类足够小时，沿相对Chow不稳定的子流形爆破会阻碍极小凯勒度量的存在性，从而通过代数几何稳定性条件为规范度量提供了新的障碍。

ABSTRACT

An asymptotic formula for the Tian-Paul CM-line of a flat family blown-up at a flat closed sub-scheme is given. As an application we prove that the blow-up of a polarized manifold along a (relatively) Chow-unstable submanifold admits no (extremal) constant scalar curvature Kahler metrics in classes making the exceptional divisors sufficiently small. Moreover a geometric characterization of relatively Chow-unstable configuration of points in the projective space is given. From this we get new examples of classes admitting no extremal Kahler metric also in the case of the projective plane blown-up at a finite set of points.

研究动机与目标

• 推导平坦族在沿平坦闭子概形爆破后CM-线丛的渐近公式。
• 建立爆破后族的CM-稳定性与爆破中心的相对Chow稳定性的联系。
• 将该公式应用于阻碍特定类中爆破后极小凯勒度量的存在性。
• 给出射影空间中点的相对Chow不稳定构型的几何刻画。
• 构造在特定凯勒类中不承认极小凯勒度量的新复流形例子。

提出的方法

• 以原始CM-线丛和与爆破中心相关的名为CW-线的新不变量来推导爆破后CM-线丛的渐近展开式。
• 使用Paul–Tian构造族的CM-线，并通过等变测试配置将其扩展至爆破情形。
• 应用广义Futaki不变量和Futaki–Mabuchi标量积来分析测试配置中心纤维的稳定性。
• 在参数r（与爆破的线丛扭曲相关）的渐近分析中，表明爆破后CM-线丛可分解为首项与低阶修正项。
• 利用原始与爆破流形之间自同构群的识别，比较极小向量场及其在中心纤维上的作用。
• 利用爆破族上校正后的Futaki不变量渐近由CW-不变量与原始Futaki不变量决定，且误差项按r的幂次衰减这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 家族在沿平坦闭子概形爆破后，CM-线丛如何变换？
• RQ2 当爆破参数r趋于无穷时，爆破后家族的CM-线丛的精确渐近行为是什么？
• RQ3 在例外除子类较小时，何种代数几何条件下，极小凯勒类中爆破极小凯勒度量的存在性会失败？
• RQ4 爆破中心的相对Chow稳定性能否用于预测爆破流形上规范度量的不存在性？
• RQ5 广义Futaki不变量在爆破后阻碍极小度量中起什么作用？

主要发现

• 爆破后CM-线丛满足渐近公式：λ_CM( X̃ /B, L_r ) = λ_CM(X/B, L) ⊗ λ_CW(Y,X/B,L)^{1/r^{n−d−1}} ⊗ O(1/r^{n−d})，其中r为爆破参数。
• 当中心Y为相对Chow不稳定时，对于大r，爆破后CM-线丛变为不稳定，意味着极小凯勒度量的存在性受阻。
• 爆破测试配置上的校正Futaki不变量渐近为 F( X̃, L_r ) − ⟨χ̃₀, α₀⟩ = w_CW(N,A)/r^{n−d−1} + O(1/r^{n−d})，当w_CW(N,A) ≠ 0时非零。
• 给出几何刻画：射影空间中一组点的构型为相对Chow不稳定，当且仅当其关联的CM-线丛在某一测试配置下具有负权重。
• 本文构造了新例子（如在有限个点处爆破的CP²），这些复流形在某些凯勒类中不承认极小凯勒度量。
• 证明了爆破流形上的极小向量场按η_r = (1/r²)η + (1/r^{n−d+1})γ + O(1/r^{n−d+2})缩放，确认了度量结构的渐近行为。