[论文解读] CMB anisotropies caused by gravitational waves : a parameter study

Ruth Durrer, Tina Kahniashvili|ArXiv.org|Feb 26, 1997

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 24

一句话总结

本文研究了在具有冷暗物质（CDM）、热暗物质（HDM）、辐射和宇宙学常数的空间平直宇宙学模型中，引力波引起的宇宙微波背景（CMB）各向异性的特性。利用线性微扰理论，推导了标度不变原初引力波谱下CMB各向异性功率谱 $C_\ell$，展示了 $C_\ell$ 的振幅和形状如何依赖于 $\Omega_C$、$\Omega_H$、$\Omega_\Lambda$ 等模型参数。

ABSTRACT

Anisotropies in the cosmic microwave background radiation due to gravity waves are investigated. An initial spectrum of gravity waves may have been induced during an epoch of inflation. We study the propagation of such a spectrum in a Friedmann background of hot and cold dark matter, radiation and (possibly) a cosmological constant. We finally calculate its imprint as anisotropies on the cosmic microwave background. We also take into account that massless particles can source gravity waves by their anisotropic stresses. We consider general mixed dark matter models with and without cosmological constant. For a given, scale invariant input spectrum of gravity we determine the dependence of the resulting spectrum of CMB anisotropies on the different model parameters.

研究动机与目标

• 确定在具有CDM、HDM、辐射和宇宙学常数的空间平直模型中，引力波诱导的CMB各向异性如何依赖于宇宙学参数。
• 评估初始标度不变引力波谱对最终CMB功率谱 $C_\ell$ 的影响。
• 评估相对论性、无碰撞粒子（如无质量中微子）产生的各向异性应力在激发和调制张量微扰中的作用。
• 量化张量模态下 $C_\ell$ 的模型依赖性，特别是在归一化至COBE数据的混合暗物质模型中。
• 提供一个参数研究，将可观测的CMB各向异性与原初引力波振幅及宇宙学模型输入联系起来。

提出的方法

• 在 $K=0$ 的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克时空中求解张量微扰方程 $\ddot{h}^{T}_{ij} + 2(\dot{a}/a)\dot{h}^{T}_{ij} + k^2 h^{T}_{ij} = 8\pi G a^2 p \Pi_{ij}$，并引入来自相对论性、无碰撞粒子的各向异性应力 $\Pi_{ij}$。
• 利用度规微扰 $h^{T}_{ij}$ 通过光子的玻尔兹曼方程计算温度各向异性 $\Delta T / T$，包含汤姆孙散射和时间延迟效应。
• 通过计算角相关函数 $\langle (\Delta T/T)(\Delta T/T)^* \rangle$ 并投影到球谐函数 $Y_{\ell m}$ 上，推导CMB功率谱 $C_\ell$，得到 $C_\ell = \langle a_{\ell m} a^*_{\ell m} \rangle$。
• 将最终的 $C_\ell$ 表达为贝塞尔函数 $j_\ell(k(t_0 - t))$ 及其导数的形式，系数通过勒让德多项式展开和角动量耦合获得。
• 考虑固定输入谱 $\langle |h(t_{\text{in}},k)|^2 \rangle = A(k)^2 k^{-3}$ 且 $n=0$，使得输出 $C_\ell \propto |A(k)|^2$，从而实现直接的参数缩放。
• 在 $\Omega_C$、$\Omega_H$、$\Omega_\Lambda$ 和 $N_{\text{rel}}$（相对论性自由度数量）变化的模型中进行数值计算，重点关注 $\Omega_0 = 1$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量模态的CMB各向异性功率谱 $C_\ell$ 如何依赖于冷暗物质密度参数 $\Omega_C$？
• RQ2 热暗物质 ($\Omega_H$) 和宇宙学常数 ($\Omega_\Lambda$) 对引力波诱导各向异性 $C_\ell$ 的振幅和形状有何影响？
• RQ3 来自相对论性、无碰撞粒子（如无质量中微子）的各向异性应力如何改变引力波微扰的演化及最终的 $C_\ell$？
• RQ4 在混合暗物质模型中，宇宙学常数的引入如何影响张量模态的转移函数和晚期演化？
• RQ5 早期宇宙中相对论自由度数量 $N_{\text{rel}}$ 对 $C_\ell$ 的敏感性如何？

主要发现

• 引力波的CMB各向异性功率谱 $C_\ell$ 与输入振幅 $|A(k)|^2$ 的平方成线性关系，整个谱由基于贝塞尔函数的转移函数 $I(\ell,k)$ 决定。
• $C_\ell$ 的形状对 $\Omega_C$、$\Omega_H$ 和 $\Omega_\Lambda$ 的相对贡献敏感，其中 $\Omega_\Lambda$ 由于晚期加速而抑制大角度尺度的功率。
• 引入相对论性粒子的各向异性应力会改变张量微扰方程中的有效源项，从而改变 $h^{T}_{ij}$ 的增长与振荡，最终影响 $C_\ell$。
• $\Omega_H$ 或 $N_{\text{rel}}$ 较高的模型在早期表现出更强的引力波模态阻尼，导致小尺度上 $C_\ell$ 振幅降低。
• 在标准 $\Lambda$CDM 类似模型中，张量模态的 $C_\ell$ 谱在 $\ell \sim 100$ 处出现峰值，且峰值的幅度和位置随 $\Omega_C$、$\Omega_H$ 和 $\Omega_\Lambda$ 系统性地移动。
• 以 $I(\ell,k)$ 和贝塞尔函数表示的 $C_\ell$ 表达式表明，$C_\ell$ 的 $\ell$-依赖性由 $j_\ell$ 与 $j_{\ell \pm 2}$ 项的干涉主导，其中主要贡献来自 $j_\ell$。