[论文解读] CMV biorthogonal Laurent polynomials: Christoffel formulas for Christoffel and Geronimus perturbations

Gerardo Ariznabarreta, Manuel Mañas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 42被引用 3

一句话总结

本论文为复平面上CMV双正交洛朗多项式在两类扰动——Christoffel型（乘以洛朗多项式）和Geronimus型（除以洛朗多项式并附加质量点）——下建立了Christoffel型公式，提供了扰动后多项式、范数、Christoffel–Darboux核及第二类函数的显式连接公式。对于预备洛朗多项式，公式以仅含2n个未扰动量的准行列式表达式呈现，特别强调单位圆情形下，可通过多项式族或混合核实现双重表示。

ABSTRACT

Quasidefinite sesquilinear forms for Laurent polynomials in the complex plane and corresponding CMV biorthogonal Laurent polynomial families are studied. Bivariate linear functionals encompass large families of orthogonalities like Sobolev and discrete Sobolev types. Two possible Christoffel transformations of these linear functionals are discussed. Either the linear functionals are multiplied by a Laurent polynomial, or are multiplied by the complex conjugate of a Laurent polynomial. For the Geronimus transformation, the linear functional is perturbed in two possible manners as well, by a division by a Laurent polynomial or by a complex conjugate of a Laurent polynomial, in both cases the addition of appropriate masses (linear functionals supported on the zeros of the perturbing Laurent polynomial) is considered. The connection formulas for the CMV biorthogonal Laurent polynomials, its norms, and Christoffel-Darboux kernels, in all the four cases, are given. For the Geronimus transformation, the connection formulas for the second kind functions and mixed Christoffel-Darboux kernels are also given in the two possible cases. For prepared Laurent polynomials, i.e. of the form $L(z)=L_nz^n+\cdots+L_{-n}z^{-n}$, $L_nL_{-n} eq 0$, these connection formulas lead to quasideterminantal (quotient of determinants) Christoffel formulas for all the four transformations, expressing an arbitrary degree perturbed biorthogonal Laurent polynomial in terms of $2n$ unperturbed biorthogonal Laurent polynomials, their second kind functions or Christoffel-Darboux kernels and its mixed versions. The unit circle case, given its exceptional properties, is discussed in more detail.

研究动机与目标

• 将Christoffel与Geronimus变换推广至复平面上CMV双正交洛朗多项式的情形。
• 推导两类扰动下扰动双正交洛朗多项式、其范数及Christoffel–Darboux核的显式连接公式。
• 分析单位圆情形的特殊情况，其中扰动量可通过未扰动族或混合核实现双重表示。
• 为预备洛朗多项式提供仅用2n个未扰动对象表达的扰动多项式的准行列式公式。
• 通过实直线、单位圆、Cassini卵形线及心脏线等实例验证公式，对单位圆情形进行详细分析。

提出的方法

• 研究采用洛朗多项式上的拟定型厄米特型双线性型，将正交性推广至包含Sobolev型与离散型。
• 定义了两种Christoffel型变换：乘以洛朗多项式及其复共轭。
• 引入了两种Geronimus型变换：除以洛朗多项式及其复共轭，每种均伴随在扰动多项式零点处添加的Dirac质量点。
• 通过谱喷射、第二类函数及混合Christoffel–Darboux核，利用矩阵求逆与内积恒等式推导连接公式。
• 对于预备洛朗多项式（对称次数支撑），公式简化为仅由未扰动多项式与核构成的矩阵的行列式所表达的准行列式形式。
• 深入分析单位圆情形，揭示扰动量存在两种不同表示：一种仅使用原始双正交族，另一种使用Christoffel–Darboux核及其混合变体。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Christoffel变换推广至CMV双正交洛朗多项式在乘以洛朗多项式及其共轭下的情形？
• RQ2 涉及除以洛朗多项式及其共轭（含质量点添加）的Geronimus变换的连接公式是什么？
• RQ3 在这些扰动下，范数、Christoffel–Darboux核及第二类函数如何变换？
• RQ4 预备洛朗多项式下出现的准行列式公式是什么？其与扰动多项式次数有何关系？
• RQ5 在单位圆情形下，何种独特的双重表示出现？其如何反映互逆多项式的作用？

主要发现

• 对于次数为n的预备洛朗多项式，任意次数的扰动双正交洛朗多项式可表示为恰好2n个未扰动多项式、其第二类函数或Christoffel–Darboux核的线性组合。
• 所有四类变换（Christoffel与Geronimus，每类含两个变体）的连接公式均通过矩阵求逆与内积结构以闭式推导得出。
• 在单位圆情形下，扰动量具有两种不同表示：一种仅使用未扰动双正交族，另一种使用混合Christoffel–Darboux核。
• 公式为准行列式形式，即扰动量表示为仅由未扰动对象构成的行列式的比值，且项数恒定，与次数无关。
• 第二类函数与混合Christoffel–Darboux核被显式关联至扰动系统，从而实现谱数据的完整重构。
• 实直线、单位圆、Cassini卵形线及心脏线等实例验证了通用框架，其中单位圆情形因互逆多项式的作用展现出卓越对称性。