[论文解读] Co-Degeneracy and Co-Treewidth: Using the Complement to Solve Dense Instances

Johan M. M. van Rooij, Hans L. Bodlaender+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 46被引用 3

一句话总结

本文通过推广快速子集卷积并结合快速矩阵乘法，提出了在树分解、分支分解和团分解上更快的动态规划算法。其在树分解上求解支配集问题的时间复杂度为 O*(3^k)，在分支分解上计数完美匹配的时间复杂度为 O*(2^k)，在团分解上求解总支配集问题的时间复杂度为 O*(4^k)，优于以往的复杂度界限，并在强指数时间假设下接近理论极限。

ABSTRACT

Clique-width and treewidth are two of the most important and useful graph parameters, and several problems can be solved efficiently when restricted to graphs of bounded clique-width or treewidth. Bounded treewidth implies bounded clique-width, but not vice versa. Problems like Longest Cycle, Longest Path, MaxCut, Edge Dominating Set, and Graph Coloring are fixed-parameter tractable when parameterized by the treewidth, but they cannot be solved in FPT time when parameterized by the clique-width unless FPT = W[1], as shown by Fomin, Golovach, Lokshtanov, and Saurabh [SIAM J. Comput. 2010, SIAM J. Comput. 2014]. For a given problem that is fixed-parameter tractable when parameterized by treewidth, but intractable when parameterized by clique-width, there may exist infinite families of instances of bounded clique-width and unbounded treewidth where the problem can be solved efficiently. In this work, we initiate a systematic study of the parameters co-treewidth (the treewidth of the complement of the input graph) and co-degeneracy (the degeneracy of the complement of the input graph). We show that Longest Cycle, Longest Path, and Edge Dominating Set are FPT when parameterized by co-degeneracy. On the other hand, Graph Coloring is para-NP-complete when parameterized by co-degeneracy but FPT when parameterized by the co-treewidth. Concerning MaxCut, we give an FPT algorithm parameterized by co-treewidth, while we leave open the complexity of the problem parameterized by co-degeneracy. Additionally, we show that Precoloring Extension is fixed-parameter tractable when parameterized by co-treewidth, while this problem is known to be W[1]-hard when parameterized by treewidth. These results give evidence that co-treewidth is a useful width parameter for handling dense instances of problems for which an FPT algorithm for clique-width is unlikely to exist. Finally, we develop an algorithmic framework for co-degeneracy based on the notion of Bondy-Chvátal closure.

研究动机与目标

• 改进图分解上动态规划算法的指数时间复杂度。
• 降低在有界树宽、分支宽和团宽图上 NP-难问题的运行时间中指数因子的底数。
• 提出一个通用框架，将快速子集卷积与多状态和多秩结合，以实现高效的动态规划。
• 证明改进后的运行时间在强指数时间假设下接近或达到理论下界。

提出的方法

• 将快速子集卷积推广至支持多状态和多秩，从而在动态规划表上实现高效计算。
• 将推广后的子集卷积技术应用于树分解、分支分解和团分解，以加速状态转移。
• 引入非对称顶点状态，以提升在分支分解和团分解上动态规划的效率。
• 将推广的子集卷积与快速矩阵乘法结合，受 Dorn 方法的启发，进一步加速计算。
• 使用具有 de Fluiter 性质的归一化动态规划表，以限制等价类的数量并确保有限状态表示。
• 利用图分解的结构特性，减少状态空间，并优化支配集和完美匹配计数等问题的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 快速子集卷积能否在图分解的背景下推广至支持多状态和多秩？
• RQ2 在树分解上，动态规划可达到的最小指数底数是多少？能否被实际算法实现？
• RQ3 如何将快速矩阵乘法与子集卷积结合，以提升分支分解上的运行时间？
• RQ4 改进后的运行时间在强指数时间假设下，与理论下界接近到何种程度？
• RQ5 该框架能否在树分解、分支分解和团分解上统一应用，从而为一大类问题提供近乎最优的算法？

主要发现

• 本文在宽度为 k 的树分解上实现了 O*(3^k) 时间复杂度的支配集算法，优于先前的 O*(4^k) 上限。
• 对于 ρ 和 σ 为有限或余有限的 [ρ,σ]-支配问题，本文提出了 O*(s^k) 时间复杂度的算法，其中 s 为每个顶点的状态数。
• 本文开发了 O*(2^k) 时间复杂度的算法用于计数完美匹配，与目前已知的最佳指数时间算法一致。
• 在分支分解上，本文得到支配集问题的 O*(3^(ω/2 k)) 时间复杂度和完美匹配计数问题的 O*(2^(ω/2 k)) 时间复杂度，其中 ω 为矩阵乘法指数。
• 在团分解上，本文为支配集、独立支配集和总支配集问题给出了 O*(4^k) 时间复杂度的算法。
• 结果表明这些复杂度近乎最优，因为若进一步降低指数底数，将与强指数时间假设矛盾。