[论文解读] Co-periodic cyclic homology

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文通过取周期循环双复形的和总化（sum-totalization），引入了一种新的循环同调变体——共周期循环同调，其动机源于贝林森与巴特近期在正特征下受限德里姆上同调方面的工作。关键贡献在于构建了共周期循环同调的共轭谱序列，其结构与巴特对受限德里姆上同调所构造的共轭谱序列类似，暗示了在正特征情形下，这两套理论之间存在深刻的平行关系。

ABSTRACT

Following an old suggestion of M. Kontsevich, and inspired by recent work of A. Beilinson and B. Bhatt, we introduce a new version of periodic cyclic homology for DG agebras and DG categories. We call it co-periodic cyclic homology. It is always torsion, so that it vanishes in char 0. However, we show that co-periodic cyclic homology is derived-Morita invariant, and that it coincides with the usual periodic cyclic homology for smooth cohomologically bounded DG algebras over a torsion ring. For DG categories over a field of odd positive characteristic, we also establish a non-commutative generalization of the conjugate spectral sequence converging to our co-periodic cyclic homology groups.

研究动机与目标

• 通过使用和总化而非积总化，重新诠释周期循环双复形，发展一种新的循环同调理论。
• 探索该新理论在正特征下的影响，特别是与德里姆上同调及 $p$-进霍奇理论的关系。
• 建立共周期循环同调与贝林森和巴特所研究的受限德里姆上同调之间的形式类比。
• 研究是否存在类似于霍奇到德里姆谱序列的同构，适用于共周期循环同调。
• 评估共周期循环同调在 $p$-进霍奇理论中恢复周期环（如 $A_{\text{cris}}$）的潜力。

提出的方法

• 本文将共周期循环同调构造为周期循环双复形 $CP_{\bullet,\bullet}(A)$ 的和总复形的同调，与标准的积总化形成对比。
• 采用滤过与混合复形技术，包括边缘细分和投影，以分析双复形的结构。
• 通过代数的单纯化解析来定义导出德里姆上同调，重点在于由此产生的双复形的和总化。
• 为共周期循环同调推导出一个共轭谱序列，其结构与巴特对受限德里姆上同调所构造的共轭谱序列相仿。
• 该框架被应用于 $p$-进代数，如 $\overline{\mathbb{Z}}_p/p^n$，其中推测共周期同调的导出逆极限将恢复 $A_{\text{cris}}$。
• 本文将新理论与标准周期循环同调进行比较，并讨论由于解析中生成元选择依赖性而产生的自然同构的障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，周期循环双复形的和总化是否能产生一个有意义且非平凡的同调理论，与经典预期相反？
• RQ2 是否存在一个类似于巴特对受限德里姆上同调所构造的共轭谱序列的共轭谱序列，适用于共周期循环同调？
• RQ3 当应用于 $\overline{\mathbb{Z}}_p/p^n$ 并完成 $p$-进拓扑后，共周期循环同调是否能恢复周期环如 $A_{\text{cris}}$？
• RQ4 为何共周期循环同调与受限德里姆上同调之间的同构在单纯面映射与退化映射之间不保持相容性？
• RQ5 该新理论在多大程度上与贝林森和巴特在 $p$-进霍奇理论中的结果相平行？

主要发现

• 周期循环双复形的和总化在正特征下产生了一个非平凡的同调理论，从而形成了一种新的循环同调变体，称为共周期循环同调。
• 为共周期循环同调构造了一个共轭谱序列，其结构与巴特对受限德里姆上同调所构造的共轭谱序列类似。
• 对于 $A = \overline{\mathbb{Z}}_p/p^n$，其共周期循环同调被推测满足 $\overline{HP}_\bullet(A) \cong \overline{H}^\bullet_{DR}(A)((u^{-1}))$，暗示其与德里姆上同调之间存在深刻平行。
• 对 $A_n = \overline{\mathbb{Z}}_p/p^n$ 的 $\overline{HP}_\bullet(A_n)$ 的导出逆极限预计可恢复福尔亭的晶体周期环 $A_{\text{cris}}$，尽管该结论尚未被证明。
• 该理论在形式上与贝林森和巴特的受限德里姆上同调相类比，但共周期循环同调与受限德里姆上同调之间的自然同构因生成元依赖性而无法与单纯结构相容。
• 尽管缺乏完整的同构，谱序列与结构上的类比仍强烈暗示了这两套理论在正特征情形下的深层概念联系。