[论文解读] Coactions of a finite dimensional $C^*$-Hopf algebra on unital $C^*$-algebras, unital inclusions of unital $C^*$-algebras and the strong Morita equivalence

Kazunori Kodaka, Tamotsu Teruya|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了算子代数中一个已知结果的逆定理：若由有限维 $ C^* $-Hopf 代数 $ H^0 $ 在酉 $ C^* $-代数 $ A $ 和 $ B $ 上诱导的单位元包含 $ A \subset A \rtimes_{\rho,u}H $ 与 $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ 强 Morita 等价，且相对交换子 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $，则扭曲共作用 $ (\rho,u) $ 与 $ (\sigma,v) $ 在 $ H^0 $ 的自同构下强 Morita 等价。该结果通过交叉积的强 Morita 等价对扭曲共作用进行了分类。

ABSTRACT

Let $A$ and $B$ be unital $C^*$-algebras and let $H$ be a finite dimensional $C^*$-Hopf algebra. Let $H^0$ be its dual $C^*$-Hopf algebra. Let $(ρ, u)$ and $(σ, v)$ be twisted coactions of $H^0$ on $A$ and $B$, respectively. In this paper, we shall show the following theorem: We suppose that the unital inclusions $A\subset A times_{ρ, u}H$ and $B\subset B times_{σ, v}H$ are strongly Morita equivalent. If $A'\cap (A times_{ρ, u}H)=\BC1$, then there is a $C^*$-Hopf algebra automorphism $λ^0$ of $H^0$ such that the twisted coaction $(ρ, u)$ is strongly Morita equivalent to the twisted coaction $((\id_B \otimesλ^0 )\circσ\, , \, (\id_B \otimesλ^0 \otimesλ^0 )(v))$ induced by $(σ, v)$ and $λ^0$.

研究动机与目标

• 研究单位元包含 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ 与 $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ 的强 Morita 等价与底层扭曲共作用 $ (\rho,u) $ 与 $ (\sigma,v) $ 的强 Morita 等价之间的逆关系。
• 确定在何种条件下，交叉积包含的强 Morita 等价蕴含对应扭曲共作用的等价性（至多相差对偶 $ C^* $-Hopf 代数的自同构）。
• 通过其交叉积的强 Morita 等价类，建立酉 $ C^* $-代数上扭曲共作用的分类结果。
• 在非退化条件下，扩展先前关于扭曲共作用强 Morita 等价的结果，证明其逆蕴含关系。

提出的方法

• 作者利用 $ H $ 与 $ H^0 $ 之间的对偶性，通过 $ H $ 上的傅里叶变换将扭曲共作用与对偶作用相联系。
• 他们应用希尔伯特 $ C^* $-双模理论与包含的强 Morita 等价，依赖于 [11, 定义 2.1] 及等价双模的存在性。
• 关键技术在于构造一个由 $ H^0 $ 的 $ C^* $-Hopf 代数自同构 $ \lambda^0 $ 诱导的交叉积 $ A\rtimes_{\rho,u}H $ 与 $ A\rtimes_{\rho_{\lambda^0},u_{\lambda^0}}H $ 之间的同构 $ \pi $，并证明此类自同构保持包含的 Morita 类。
• 他们利用 $ (\rho,u) $ 的对偶共作用 $ \widehat{\rho} $，并将其与 $ \lambda^0 $ 诱导的扭曲共作用的对偶作用相关联，借助 [10, 推论 4.8] 的结果。
• 证明依赖于引理 5.3 与 6.1，将 $ \lambda^0 $ 下的对偶共作用与扭曲共作用联系起来，并利用同构 $ \pi $ 将包含之间的强 Morita 等价转移。
• 条件 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ 确保了包含的非退化性，并允许构造唯一自同构 $ \lambda^0 $ 以关联两个共作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，单位元包含 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ 与 $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ 的强 Morita 等价蕴含扭曲共作用 $ (\rho,u) $ 与 $ (\sigma,v) $ 的强 Morita 等价？
• RQ2 在有限维 $ C^* $-Hopf 代数的背景下，已知蕴含关系（共作用的 Morita 等价蕴含包含的 Morita 等价）的逆是否可被建立？
• RQ3 是否存在对偶 $ C^* $-Hopf 代数 $ H^0 $ 的典范自同构，可关联两个交叉积包含强 Morita 等价的扭曲共作用？
• RQ4 相对交换子条件 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ 如何约束共作用的结构，并使其可通过 Morita 等价实现共作用的分类？
• RQ5 扭曲共作用的强 Morita 等价类在多大程度上由其交叉积包含的强 Morita 等价类决定？

主要发现

• 若单位元包含 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ 与 $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ 强 Morita 等价，且 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $，则存在 $ H^0 $ 的 $ C^* $-Hopf 代数自同构 $ \lambda^0 $，使得 $ (\rho,u) $ 强 Morita 等价于扭曲共作用 $ ((\mathrm{id}_B \otimes \lambda^0) \circ \sigma, (\mathrm{id}_B \otimes \lambda^0 \otimes \lambda^0)(v)) $。
• 自同构 $ \lambda^0 $ 由 $ H $ 的 $ C^* $-Hopf 代数自同构 $ \lambda $ 导出，满足对所有 $ \psi \in H^0 $，$ h \in H $，有 $ \lambda^0(\psi)(h) = \psi(\lambda^{-1}(h)) $。
• 该结果建立了已知蕴含关系的逆：在非退化条件下，包含的强 Morita 等价蕴含共作用的强 Morita 等价（至多相差 $ H^0 $ 的自同构）。
• 证明构造了一个交叉积之间的同构 $ \pi $，其在 $ A $ 上限制为恒等映射，表明包含 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ 强 Morita 等价于其通过 $ \lambda^0 $ 的扭曲版本。
• 通过使用对偶共作用与希尔伯特 $ C^* $-双模，建立了包含与共作用之间的等价性，其中关键条件 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ 确保了自同构 $ \lambda^0 $ 的唯一性。
• 推论 6.5 建立了两个条件的等价性：(1) 包含的强 Morita 等价，与 (2) 存在自同构 $ \lambda^0 $，使得扭曲共作用通过诱导共作用实现强 Morita 等价。