[论文解读] Coadjoint Orbits and Conformal Field Theory

Washington Taylor|ArXiv.org|Oct 7, 1993

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 52被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于共伴轨和几何量子化的共形场论（CFT）几何方法，通过线丛上的局部规范选择构造了Virasoro代数和仿射代数的表示。关键贡献是将这些代数以双Verma模的新形式实现，避免了Feigin-Fuchs和Wakimoto构造中的技术难题，从而得以用线丛截面之间的微分算子显式表达顶点算符、筛选算符和交织算符的公式。

ABSTRACT

This thesis describes a new approach to conformal field theory. This approach combines the method of coadjoint orbits with resolutions and chiral vertex operators to give a construction of the correlation functions of conformal field theories in terms of geometrically defined objects. Explicit formulae are given for representations of Virasoro and affine algebras in terms of a local gauge choice on the line bundle associated with geometric quantization of a given coadjoint orbit; these formulae define a new set of explicit bosonic realizations of these algebras. The coadjoint orbit realizations take the form of dual Verma modules, making it possible to avoid the technical difficulties associated with the two-sided resolutions which arise from Feigin-Fuchs and Wakimoto realizations. Formulae are given for screening and intertwining operators on the coadjoint orbit representations. Chiral vertex operators between Virasoro modules are constructed, and related directly to Virasoro algebra generators in certain cases. From the point of view taken in this thesis, vertex operators have a geometric interpretation as differential operators taking sections of one line bundle to sections of another. A suggestion is made that by connecting this description with recent work deriving field theory actions from coadjoint orbits, a deeper understanding of the geometry of conformal field theory might be achieved.

研究动机与目标

• 基于共伴轨开发共形场论的新几何框架。
• 解决现有Virasoro代数和仿射代数实现中的技术难题，例如Feigin-Fuchs和Wakimoto构造中的问题。
• 利用几何量子化推导相关函数、顶点算符、筛选算符和交织算符的显式公式。
• 将手征顶点算符解释为与共伴轨相关的线丛截面之间微分算子。
• 通过将共伴轨构造与场论作用联系起来，为CFT的深层几何理解奠定基础。

提出的方法

• 利用共伴轨的几何量子化，将量子态定义为辛流形上线丛的截面。
• 在该线丛上应用局部规范选择，显式构造Virasoro代数和仿射李代数的表示。
• 以双Verma模的形式表示这些代数，避免了Feigin-Fuchs和Wakimoto实现中常见的双侧展开需求。
• 直接在共伴轨表示上推导筛选算符和交织算符的公式。
• 将Virasoro模之间的手征顶点算符构造为将一个线丛截面映射到另一个的微分算子。
• 建议将该几何框架与近期从共伴轨导出的场论作用统一，以深化对CFT几何的理解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用共伴轨以几何且显式的方式构造Virasoro代数的表示？
• RQ2 能否通过共伴轨上的双Verma模形式化，避免Feigin-Fuchs和Wakimoto实现中双侧展开的技术复杂性？
• RQ3 手征顶点算符在与线丛截面之间微分算子的几何解释是什么？
• RQ4 筛选算符和交织算符如何在共伴轨表示上显式实现？
• RQ5 共伴轨构造与共形场论中场论作用推导之间存在何种联系？

主要发现

• 本文通过共伴轨上线丛上的局部规范选择，提供了Virasoro代数和仿射李代数的显式玻色实现。
• 表示以双Verma模形式构造，避免了双侧展开的需求，简化了代数结构。
• 筛选算符和交织算符的公式直接在共伴轨表示上推导得出，支持显式计算。
• Virasoro模之间的手征顶点算符被构造，并在特定情况下被证明与Virasoro代数生成元直接相关。
• 顶点算符被几何地解释为将一个线丛截面映射到另一个的微分算子，将代数结构与几何联系起来。
• 该框架暗示了与从共伴轨导出的场论作用之间潜在的几何统一，为理解CFT几何提供了新途径。