[论文解读] Coadjoint structure of Borel subgroups and their nilradicals

Bertram Kostant|arXiv (Cornell University)|May 10, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文证明了复单连通半单李群 $G$ 的 Borel 子群 $B$ 的极大余伴从轨道的余维数为 $\ell - m$，其中 $\ell$ 是 $G$ 的秩，$m$ 是强正交根的数量。关键结果是：$B$ 允许非空开余伴从轨道当且仅当 $-1$ 属于 $G$ 的 Weyl 群，这恰好发生在 $\ell = m$ 时，即存在 $\ell$ 个正交根的完整集合。

ABSTRACT

Let $G$ be a complex simply-connected semisimple Lie group and let $\frak{g}= Lie G$. Let $\frak{g} = \frak{n}_- +\frak{h} + \frak{n}$ be a triangular decomposition of $\frak{g}$. One readily has that $Cent\,U({\frak n})$ is isomorphic to the ring $S({\frak n})^{\frak }$ of symmetric invariants. Using the cascade ${\cal B}$ of strongly orthogonal roots, some time ago we proved that $S({\frak n})^{{\frak n}$ is a polynomial ring $\Bbb C [ξ_1,...,ξ_m]$ where $m$ is the cardinality of ${\cal B}$. Using this result we establish that the maximal coadjoint of $N = exp \frak {n}$ has codimension $m$. Let $\frak {b}= \frak {h} + \frak {n}$ so that the corresponding subgroup $B$ is a Borel subgroup of $G$. Let $\ell = rank \frak{g}$. Then in this paper we prove the theorem that the maximal coadjoint orbit of $B$ has codimension $\ell - m$ so that the following statements (1) and (2) are equivalent: (1) -1 is in the Weyl group of $G$ (i.e., $\ell = m$), and (2), B has a nonempty open coadjoint orbit. We remark that a nilpotent or a semisimple group cannot have a nonempty open coadjoint orbit. Celebrated examples where a solvable Lie group has a nonempty open coadjoint orbit are due to Piatetski--Shapiro in his counterexample construction of a bounded complex homogeneous domain which is not of Cartan type.

研究动机与目标

• 确定复半单李群中 Borel 子群的极大余伴从轨道的余维数。
• 刻画 Borel 子群在什么条件下允许非空开余伴从轨道。
• 将此类轨道的存在性与 Weyl 群的结构联系起来，特别是 $-1$ 的存在性。
• 利用强正交根的级联结构和幂零部分 $\mathfrak{n}$ 的结构来分析余伴从轨道的几何性质。
• 证明当开余伴从轨道存在时，它恰好是 Zariski 开稠子集 $\mathfrak{b}_{-}' \subset \mathfrak{b}_{-}$。

提出的方法

• 利用三角分解 $\mathfrak{g} = \mathfrak{n}_- + \mathfrak{h} + \mathfrak{n}$，并通过 Kiling 形式识别 $\mathfrak{b}^* \cong \mathfrak{b}_-$。
• 应用 Kostant 之前关于强正交根级联的结果，证明 $S(\mathfrak{n})^\mathfrak{n} \cong \mathbb{C}[\xi_1, \dots, \xi_m]$，即一个秩为 $m$ 的多项式环。
• 分析 $N = \exp(\mathfrak{n})$ 在 $\mathfrak{n}_-$ 上的余伴从作用，表明通过 $\mathfrak{r}_-^\times \subset \mathfrak{n}_-$ 的轨道同构于 $N/R$，其中 $R$ 是对应于级联所张的根空间的幂零子群。
• 利用 $B = H \ltimes N$ 对 $\mathfrak{n}_-$ 的作用，以及 $H$ 在 $\mathfrak{r}_-^\times \cong (\mathbb{C}^\times)^m$ 上的传递作用，来分析轨道结构。
• 通过 $\Phi_\mathfrak{b} = \Phi_\mathfrak{n} + \Phi_\mathfrak{h}$ 的无穷小余伴从作用计算稳定子代数，并推导出轨道的余维数。
• 采用极限论证和在 $\mathfrak{h}$ 平移下的 $B$-同构不变性，将结果从 $\mathfrak{r}_-^\times$ 扩展到稠开子集 $\mathfrak{b}_{-}'$。

实验结果

研究问题

• RQ1 复半单李群 $G$ 的 Borel 子群 $B$ 在 $\mathfrak{b}_{-}$ 中何时允许非空开余伴从轨道？
• RQ2 在 $\mathfrak{b}_{-}$ 中，$B$ 的极大余伴从轨道的余维数是多少？它如何依赖于根系结构？
• RQ3 开余伴从轨道的存在性与 Weyl 群之间有何关系，特别是与 $-1$ 的存在性？
• RQ4 强正交根的级联在确定 $S(\mathfrak{n})^\mathfrak{n}$ 和余伴从轨道几何结构方面起什么作用？
• RQ5 余伴从向量 $w \in \mathfrak{b}_{-}$ 的稳定子代数 $\mathfrak{b}_w$ 如何与 $\mathfrak{h}^o$ 和根系相关？

主要发现

• Borel 子群 $B$ 的极大余伴从轨道在 $\mathfrak{b}_{-}$ 中的余维数为 $\ell - m$，其中 $\ell = \mathrm{rank}(\mathfrak{g})$，$m = \#\mathcal{B}$ 为强正交根的数量。
• Borel 子群 $B$ 允许非空开余伴从轨道当且仅当 $-1$ 属于 $G$ 的 Weyl 群，这等价于 $\ell = m$。
• 当 $\ell = m$ 时，开余伴从轨道恰好是 Zariski 开稠子集 $\mathfrak{b}_{-}' \subset \mathfrak{b}_{-}$，且 $\mathfrak{r}_-^\times \subset \mathfrak{b}_{-}'$。
• 开轨道中任意点 $w$ 的稳定子代数 $\mathfrak{b}_w$ 为 $\mathfrak{h}^o$，其维数为 $\ell - m$，从而确认了余维数。
• $B$ 的余伴从作用保持轨道结构不变，且 $\mathfrak{h}$ 的平移诱导出 $B$-同构，确保在 $\mathfrak{b}_{-}'$ 上余维数保持恒定。
• 对于单李代数，开余伴从轨道恰好存在于类型 $B_\ell$、$C_\ell$、$D_\ell$（$\ell$ 为偶数）、$G_2$、$F_4$、$E_7$ 和 $E_8$，对应于 $-1$ 属于 Weyl 群的情形。