[论文解读] Coalescent processes arising in a study of diffusive clustering

Andreas Greven, Vlada Limic+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究了在 ℤ² 上具有扩散迁移和局部延迟共祖的时空共祖过程，建立了二维 Moran 模型与 Fisher-Wright 模型中基因谱系结构的长期行为。引入了带有重生的共祖过程作为极限对象，证明了在时空缩放下收敛性，并通过 Erdös-Taylor 公式和每个位点上可数多个个体的粒子系统的矩估计推导出渐近界。

ABSTRACT

This paper studies the spatial coalescent on $\Z^2$. In our setting, the partition elements are located at the sites of $\Z^2$ and undergo local delayed coalescence and migration. That is, pairs of partition elements located at the same site coalesce into one partition element after exponential waiting times. In addition, the partition elements perform independent random walks. The system starts in either locally finite configurations or in configurations containing countably many partition elements per site. These two situations are relevant if the coalescent is used to study the scaling limits for genealogies in Moran models respectively interacting Fisher-Wright diffusions (or Fleming-Viot processes), which is the key application of the present work. Our goal is to determine the longtime behavior with an initial population of countably many individuals per site restricted to a box $[-t^{α/2}, t^{α/2}]^2 \cap \Z^2$ and observed at time $t^β$ with $1 \geq β\geq α\ge 0$. We study both asymptotics, as $t o\infty$, for a fixed value of $α$ as the parameter $β\in[α,1]$ varies, and for a fixed $β$, as the parameter $α\in [0,β]$ varies. This exhibits the genealogical structure of the mono-type clusters arising in 2-dimensional Moran and Fisher-Wright systems. (... for more see the actual preprint)

研究动机与目标

• 分析 ℤ² 上具有局部共祖和独立随机游走迁移的空间共祖过程的长期行为。
• 刻画二维相互作用 Moran 模型与 Fisher-Wright 扩散模型中单类型簇的基因谱系结构。
• 引入并严格构造带有重生的共祖过程作为此类系统在缩放极限下的极限对象。
• 在路径空间中建立收敛性，并推导每个位点上具有可数多个个体的粒子系统的矩界。

提出的方法

• 建模 ℤ² 上的空间共祖过程，其中各划分元素执行独立的随机游走，并在相同位置经历指数分布等待时间后发生共祖。
• 应用看下构造法耦合共祖过程，并推导划分元素数量的矩界。
• 利用 Erdös-Taylor 公式估计二维布朗运动的范围，以控制共祖速率的衰减。
• 通过迭代应用衰减不等式，推导出划分元素数量的矩界，利用时间区间内共祖性质。
• 在时间-空间缩放下分析渐近行为，参数为 α 和 β，其中初始粒子被限制在大小为 t^{α/2} 的方盒内，并在时间 t^β 处观察。
• 通过控制粒子数量的增长并使用随机控制论证，证明路径空间中的紧致性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℤ² 上具有扩散迁移与局部共祖的空间共祖过程中，划分元素的数量如何随时间演化？
• RQ2 在宏观时间与空间缩放下，二维相互作用 Moran 与 Fisher-Wright 模型的极限基因谱系结构是什么？
• RQ3 带有重生的共祖过程如何作为每个位点上具有可数多个个体的粒子系统缩放极限出现？
• RQ4 当初始配置每个位点具有无限强度且被限制在增长方盒内时，划分元素数量的渐近界是什么？
• RQ5 能否在时间与空间联合缩放下，建立空间共祖过程向带有重生的共祖过程的路径空间收敛？

主要发现

• 当 t 足够大时，时间 t^β 处的划分元素数量被界于 M(1 ∨ α/(2(β−α)) ∨ 𝔼[#C₂^{Λ(t^{α/2})}]/t^α) 之内，其中 M 为有限常数。
• 在参数 α 与 β 满足 1 ≥ β ≥ α ≥ 0 的联合时间-空间缩放下，带有重生的共祖过程是空间共祖过程的缩放极限。
• 通过迭代应用衰减不等式，建立了划分元素数量的矩界，表明在共祖动力学下粒子数量呈指数衰减。
• 通过 Erdös-Taylor 公式与矩估计控制粒子数量的增长，证明了路径空间中的紧致性。
• 该系统表现出渐近可交换性与单调性，这些性质对于证明收敛至带有重生的共祖过程至关重要。
• 通过看下过程构造了带有重生的共祖过程，并证明其在极限下可完整描述基因谱系森林，包括“化石”谱系。