[论文解读] Coalgebroids in monoidal bicategories and their comodules

Ramón Abud Alcalá|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文在有单幕双范畴中的对幕箭头的余模上建立了一个统一的框架，引入了拟 lax 作用作为关键工具。证明了三种余模的定义是等价的，并表明当对幕箭头是一个单幕时，余模范畴通过一个强单幕遗忘函子继承了单幕结构——将量子范畴理论扩展到了更广泛的双范畴设定。

ABSTRACT

Quantum categories have been recently studied because of their relation to bialgebroids, small categories, and skew monoidales. This is the first of a series of papers based on the author's PhD thesis in which we examine the theory of quantum categories developed by Day, Lack, and Street. A quantum category is an opmonoidal monad on the monoidale associated to a biduality $R\dashv R^{\circ}$, or enveloping monoidale, in a monoidal bicategory of modules $\mathsf{Mod}(\mathcal{V})$ for a monoidal category $\mathcal{V}$. Lack and Street proved that quantum categories are in equivalence with right skew monoidales whose unit has a right adjoint in $\mathsf{Mod}(\mathcal{V})$. Our first important result is similar to that of Lack and Street. It is a characterisation of opmonoidal \emph{arrows} on enveloping monoidales in terms of a new structure named \emph{oplax action}. We then provide three different notions of comodule for an opmonoidal arrow, and using a similar technique we prove that they are equivalent. Finally, when the opmonoidal arrow is an opmonoidal monad, we are able to provide the category of comodules for a quantum category with a monoidal structure such that the forgetful functor is monoidal.

研究动机与目标

• 通过使用 2-范畴工具，将双代数胚和量子范畴的理论推广到经典模理论设定之外。
• 为有单幕双范畴中的对幕箭头的余模提供统一的处理，特别是在包络单幕代数的背景下。
• 确立对幕箭头的三种不同余模定义是等价的，从而澄清了基础结构。
• 表明当对幕箭头是一个对幕单幕时，余模范畴具有单幕结构，且遗忘函子是强单幕的。
• 利用对幕单幕伴随和拟 lax 作用，将 Day、Lack 和 Street 关于量子范畴的结果扩展到更一般的双范畴框架。

提出的方法

• 引入拟 lax 作用作为新结构，以刻画包络单幕代数上的对幕箭头，推广了对幕单幕的概念。
• 利用对幕箭头与拟 lax 作用之间的等价性，定义并比较了此类箭头的三种不同余模定义。
• 应用对幕伴随理论和对偶伴随理论，将余模与相关单幕和余单幕上的模联系起来。
• 使用 Kleisli 构造和比较函子，证明满性与本质满性，建立余模范畴之间的等价性。
• 利用 Mod(V) 的单幕双范畴结构以及对偶性 R ⊣ R◦，定义包络单幕代数 R◦⊗R，并将单幕结构提升到余模范畴。
• 利用双范畴中的水平复合与协恒同构，构造余模上单幕结构的结合子与单位子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在有单幕双范畴中，通过多种等价方式定义对幕箭头的余模？
• RQ2 拟 lax 作用在刻画包络单幕代数上的对幕箭头中起什么作用？
• RQ3 在什么条件下，对幕单幕的余模范畴会继承单幕结构？
• RQ4 关于代数胚和双代数胚的标准余模定义如何通过对方幕箭头的新框架联系起来？
• RQ5 从余模范畴到基范畴的遗忘函子是否可以是单幕的？在什么条件下？

主要发现

• 通过双范畴中的一系列同构与等价，证明了对幕箭头的三种不同余模定义是等价的。
• 在包络单幕代数上的对幕单幕的余模范畴继承了单幕结构，且到基范畴的遗忘函子是强单幕的。
• 余模上的单幕结构通过水平复合与协恒同构构造，其结合子与单位子由单幕结构诱导。
• 在动机性情形 M = Mod_k 中，结果恢复并统一了已知的代数胚与双代数胚余模定义，表明在拟 lax 作用、标准余作用与对幕箭头之间存在等价性。
• 建立了通过拟 lax 作用定义的余模与通过余作用定义的余模之间的等价性，唯一的区别在于底层模范畴（R-Mod-S 与 Mod-S）。
• 推论 7.19 确认：对于包络单幕代数 R◦R 上的对幕单幕 B，范畴 rComodB((R, e1), (R, e1)) 是单幕的，且到 M(R, R) 的遗忘函子是强单幕的。