[论文解读] Coarse Baum-Connes conjecture and rigidity for Roe algebras

Bruno de Mendonça Braga, Yeong Chyuan Chung+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文建立了粗 Baum-Connes猜想与Roe代数刚性之间的联系，证明了若两个一致局部有限的度量空间的$*$-同构Roe代数满足系数版本的粗 Baum-Connes猜想，则这两个空间是粗等距的。关键贡献在于将刚性结果从可粗等距嵌入希尔伯特空间的空间推广到由鬼投影性质定义的更广泛类空间。

ABSTRACT

In this paper, we connect the rigidity problem and the coarse Baum-Connes conjecture for Roe algebras. In particular, we show that if $X$ and $Y$ are two uniformly locally finite metric spaces such that their Roe algebras are $*$-isomorphic, then $X$ and $Y$ are coarsely equivalent provided either $X$ or $Y$ satisfies the coarse Baum-Connes conjecture with coefficients. It is well-known that coarse embeddability into a Hilbert space implies the coarse Baum-Connes conjecture with coefficients. On the other hand, we provide a new example of a finitely generated group satisfying the coarse Baum-Connes conjecture with coefficients but which does not coarsely embed into a Hilbert space.

研究动机与目标

• 通过将Roe代数的刚性问题与带系数的粗 Baum-Connes猜想联系起来，解决Roe代数的刚性问题。
• 将已知的刚性结果从可粗等距嵌入希尔伯特空间的空间推广到一个严格更大的度量空间类。
• 刻画一类新的度量空间，其所有稀疏子空间在Roe代数中仅产生紧致的鬼投影。
• 构造一个满足带系数的粗 Baum-Connes猜想但不粗等距嵌入希尔伯特空间的有限生成群，从而回答一个开放问题。
• 在非阿贝尔群上，基于带系数的粗 Baum-Connes猜想，建立统一Roe双射刚性。

提出的方法

• 引入并分析一种几何条件：度量空间的所有稀疏子空间在Roe代数中仅产生紧致的鬼投影。
• 利用带系数的粗 Baum-Connes猜想，排除Roe代数中非紧致鬼投影的存在。
• 应用边界粗 Baum-Connes装配映射，并通过群胚半直积建立其与标准 Baum-Connes映射的关系。
• 利用粗等距嵌入希尔伯特空间蕴含该几何条件的事实，但证明该条件严格弱于粗等距嵌入性。
• 通过Roe代数与稳定/统一Roe代数之间的$*$-同构，在猜想假设下推导出粗等距性。
• 利用该几何条件构造一个满足带系数的粗 Baum-Connes猜想但不粗等距嵌入希尔伯特空间的有限生成群。

实验结果

研究问题

• RQ1 带系数的粗 Baum-Connes猜想是否意味着$*$-同构的Roe代数对应于粗等距的度量空间？
• RQ2 稀疏子空间中鬼投影的几何条件是否严格弱于粗等距嵌入希尔伯特空间？
• RQ3 是否存在一个有限生成群满足带系数的粗 Baum-Connes猜想但不粗等距嵌入希尔伯特空间？
• RQ4 在何种条件下，基于Roe代数的代数同构，度量空间是Roe刚性或统一Roe刚性的？
• RQ5 对于非阿贝尔度量空间，带系数的粗 Baum-Connes猜想是否蕴含统一Roe双射刚性？

主要发现

• 若$X$与$Y$是两个一致局部有限的度量空间，其Roe代数$*$-同构，且其中一个满足带系数的粗 Baum-Connes猜想，则$X$与$Y$是粗等距的。
• 所有稀疏子空间仅产生紧致鬼投影的几何条件，严格弱于粗等距嵌入希尔伯特空间。
• 构造了一个新的有限生成群的例子，其满足带系数的粗 Baum-Connes猜想但不粗等距嵌入希尔伯特空间。
• 所有稀疏子空间仅产生紧致鬼投影的条件，蕴含一致局部有限度量空间的统一Roe刚性。
• 对于满足带系数粗 Baum-Connes猜想的非阿贝尔度量空间，统一Roe双射刚性成立。
• 带系数的粗 Baum-Connes猜想蕴含Roe代数中不存在非紧致鬼投影，这是刚性结果的关键。