[论文解读] Coarse categories I: foundations

Viêt-Trung Luu|ArXiv.org|Aug 29, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文通过引入广义粗范畴 Crs，建立了粗几何的基础范畴框架，该范畴包含非单位元粗空间与模去接近关系的局部拟正则映射。证明了 Crs 具有所有非零极限与余极限，引入了终止函子以替代 Crs 中缺失的终端对象，并为发展 Roe C*-代数及其 K-理论提供了范畴基础，尤其在连续控制空间与商构造的背景下。

ABSTRACT

Following Roe and others (see, e.g., [MR1451755]), we (re)develop coarse geometry from the foundations, taking a categorical point of view. In this paper, we concentrate on the discrete case in which topology plays no role. Our theory is particularly suited to the development of the_Roe (C*-)algebras_ C*(X) and their K-theory on the analytic side; we also hope that it will be of use in the strictly geometric/algebraic setting of controlled topology and algebra. We leave these topics to future papers. Crucial to our approach are nonunital coarse spaces, and what we call _locally proper_ maps (which are actually implicit in [MR1988817]). Our_coarse category_ Crs generalizes the usual one: its objects are nonunital coarse spaces and its morphisms (locally proper) coarse maps modulo_closeness_. Crs is much richer than the usual unital coarse category. As such, it has all nonzero limits and all colimits. We examine various other categorical issues. E.g., Crs does not have a terminal object, so we substitute a_termination functor_ which will be important in the development of exponential objects (i.e., "function spaces") and also leads to a notion of_quotient coarse spaces_. To connect our methods with the standard methods, we also examine the relationship between Crs and the usual coarse category of Roe. Finally we briefly discuss some basic examples and applications. Topics include_metric coarse spaces_,_continuous control_ [MR1277522], metric and continuously controlled_coarse simplices_,_sigma-coarse spaces_ [MR2225040], and the relation between quotient coarse spaces and the K-theory of Roe algebras (of particular interest for continuously controlled coarse spaces).

研究动机与目标

• 开发粗几何的范畴框架，通过包含非单位元粗空间与局部拟正则映射，推广标准粗范畴。
• 建立一个具有所有非零极限与余极限的范畴 Crs，以支持结构化的代数与拓扑构造。
• 引入一个终止函子，作为 Crs 中缺失的终端对象的替代，促进函数空间与商粗空间的定义。
• 将范畴框架与 Roe C*-代数的解析 K-理论联系起来，尤其在连续控制与度量粗空间的背景下。
• 为未来通过范畴工具研究指数对象、控制拓扑与 Roe 代数的 K-理论奠定基础。

提出的方法

• 定义非单位元粗空间与局部拟正则映射，通过放松单位元性与拟正则性要求，推广标准粗映射。
• 构造粗范畴 Crs，即非单位元粗空间的范畴，其态射由模去接近关系的局部拟正则粗映射给出。
• 证明 Crs 具有所有非零极限与余极限，并通过纤维积与商构造给出显式构造。
• 引入一个终止函子，为每个粗空间赋予一个类似终端对象的结构，从而支持函数空间与商粗空间的定义。
• 通过局部紧性与标准 K-理论工具，建立 Roe 代数 K-理论与连续控制开锥的约化 K-同调之间的同构关系。
• 利用 Eilenberg 滑移与 K-理论中的长正合列，计算球面与锥的 Roe 代数的 K-群，将其与经典 K-同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从范畴视角系统地发展粗几何，特别是通过推广标准粗范畴？
• RQ2 非单位元粗空间的范畴具有哪些范畴性质（如极限、余极限、终端对象）？如何通过修改使其克服终端对象缺失的问题？
• RQ3 在连续控制粗空间（如紧致空间上的开锥）的情形下，Roe C*-代数的 K-理论与经典 K-同调之间有何关系？
• RQ4 Crs 的范畴框架是否能通过终止函子支持函数空间与商粗空间的构造？
• RQ5 在控制设定下，商空间的 Roe 代数 K-理论与相对 K-同调之间的确切关系是什么？

主要发现

• 由非单位元粗空间与模去接近关系的局部拟正则映射构成的范畴 Crs 具有所有非零极限与余极限，且可显式构造。
• Crs 缺少终端对象，但通过引入终止函子，提供了范畴上的替代，对定义指数对象与商粗空间至关重要。
• 对于紧致、第二可数空间 M 与 N 上的连续控制开锥 OM 与 ON，有自然同构：K•(C∗(OM)) ≅ ˜K•−1(M)。
• 三元组 (X, Y, X/[Y]) 的 K-理论长正合列自然对应于约化 K-同调序列，当条件满足时，K•(C∗(X/[Y])) ≅ K•−1(M, N)。
• C∗(OS⁰) 的 K-理论在奇数维上同构于 ℤ，在偶数维上为 0，通过 Eilenberg 滑移与 C*-代数的短正合列计算得出。
• 通过归纳法，C∗(OSⁿ) 的 K-理论在模 2 同余于 n−1 的度数上为 ℤ，其余为 0，这与球面的 K-同调相关联，支持了 Kasparov K-同调的粗几何描述。