[论文解读] Coarse decompositions of boundaries for CAT(0) groups

Dan P. Guralnik|ArXiv.org|Oct 31, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文通过一种基于超滤子的新组合边界 $\Re C$，引入了 CAT(0) 群边界的一种粗略分解，其中 $\Re C$ 定义为在 $\omega$-维立方体 $C$ 的半空间上的超滤子的几乎相等类的集合，并赋予其一个由 Tychonoff 闭包导出的序结构。当群 $G$ 在 CAT(0) 空间 $X$ 上几何作用，且具有统一的立方化 $\mathcal{H}$ 时，映射 $\rho: \partial_\infty X \to \Re C$ 的纤维根据 $\Re C$ 中的序结构对视觉边界进行分层，且该结构计算了 Tits 边界的连通分支。关键结果是通过 $\rho$ 对 $G$ 在 $C$ 上作用的共紧性给出了一个刻画，推广了此前对 Coxeter 群的结果。

ABSTRACT

In this work we introduce a new combinatorial notion of boundary $\Re C$ of an $ω$-dimensional cubing $C$. $\Re C$ is defined to be the set of almost-equality classes of ultrafilters on the standard system of halfspaces of $C$, endowed with an order relation reflecting the interaction between the Tychonoff closures of the classes. When $C$ arises as the dual of a cubulation -- or discrete system of halfspaces -- $\HH$ of a CAT(0) space $X$ (for example, the Niblo-Reeves cubulation of the Davis-Moussong complex of a finite rank Coxeter group), we show how $\HH$ induces a function $ρ:\bd X o\Re C$. We develop a notion of uniformness for $\HH$, generalizing the parallel walls property enjoyed by Coxeter groups, and show that, if the pair $(X,\HH)$ admits a geometric action by a group $G$, then the fibers of $ρ$ form a stratification of $\bd X$ graded by the order structure of $\Re C$. We also show how this structure computes the components of the Tits boundary of $X$. Finally, using our result from another paper, that the uniformness of a cubulation as above implies the local finiteness of $C$, we give a condition for the co-compactness of the action of $G$ on $C$ in terms of $ρ$, generalizing a result of Williams, previously known only for Coxeter groups.

研究动机与目标

• 为 $\omega$-维立方体通过其半空间上的超滤子构造一个组合边界 $\Re C$。
• 从 CAT(0) 空间 $X$ 的视觉边界 $\partial_\infty X$ 到该新边界定义一个映射 $\rho: \partial_\infty X \to \Re C$。
• 在立方化 $\mathcal{H}$ 的统一性条件下，证明 $\rho$ 的纤维按 $\Re C$ 的序结构对 $\partial_\infty X$ 实现分层。
• 证明该结构可计算 $X$ 的 Tits 边界之连通分支。
• 通过 $\rho$ 提供 $G$ 在立方体 $C$ 上作用共紧性的条件，推广 Williams 对 Coxeter 群的结果。

提出的方法

• 将 $\Re C$ 定义为立方体 $C$ 的标准半空间系统上超滤子的几乎相等类的集合，并赋予由 Tychonoff 闭包导出的序关系。
• 通过 $X$ 的立方化 $\mathcal{H}$ 构造一个从 $\partial_\infty X$ 到 $\Re C$ 的映射 $\rho$，其中 $\mathcal{H}$ 是一个离散的半空间系统。
• 引入 $\mathcal{H}$ 的统一性概念，推广 Coxeter 群的平行墙性质，以确保结构控制。
• 使用鸽巢原理和立方体 $C$ 的局部有限性，构造一条在 $\Pi$（即 $C$ 的 1-骨架）中具有从基点 $\Pi_0$ 严格递增距离的测地线射线，从而证明存在不在 $\rho$ 的像中的超滤子。
• 通过矛盾法，利用半空间集合的一致性及阴影的性质，证明此类逃逸射线对应于不在 $\rho(\partial_\infty X)$ 中的超滤子。
• 利用先前结果，将统一立方化与 $C$ 的局部有限性联系起来，从而通过 $\rho$ 的纤维导出 $G$ 在 $C$ 上作用的共紧性准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用立方化 $\mathcal{H}$ 的组合数据对 CAT(0) 空间 $X$ 的视觉边界 $\partial_\infty X$ 进行分层？
• RQ2 $\Re C$（即立方体 $C$ 的边界）上的序结构在组织映射 $\rho: \partial_\infty X \to \Re C$ 的纤维中起什么作用？
• RQ3 立方化 $\mathcal{H}$ 的统一性如何与 $\partial_\infty X$ 及 Tits 边界的拓扑结构相关联？
• RQ4 能否从 $\Re C$ 的序结构计算出 $X$ 的 Tits 边界之连通分支？
• RQ5 在何种 $\rho$ 条件下，$G$ 在立方体 $C$ 上的作用是共紧的？

主要发现

• 映射 $\rho: \partial_\infty X \to \Re C$ 是良定义的，并且在 $G$ 几何作用于 $X$ 时，自然地由 $X$ 的立方化 $\mathcal{H}$ 导出。
• $\rho$ 的纤维形成了 $\partial_\infty X$ 的一个分层结构，该结构由 $\Re C$ 的序结构分级，即 $\Re C$ 中每个元素的原像对应于边界的一种分层分解中的一个层级。
• $X$ 的 Tits 边界的连通分支由 $\Re C$ 的序结构计算得出，即 Tits 边界的连通分支对应于 $\Re C$ 中的最大元或连通分支。
• 在 $C$ 的 1-骨架中具有从基点 $\Pi_0$ 严格递增距离的逃逸测地线射线，对应于不在 $\rho$ 的像中的 $\Re C$ 中的超滤子，从而证明 $\rho$ 一般不是满射。
• $G$ 在立方体 $C$ 上作用的共紧性由 $\rho$ 的纤维是紧的且 $\rho$ 的像是闭的这一条件刻画，推广了已知的 Coxeter 群结果。
• 此类射线的存在性由鸽巢原理和 $C$ 的局部有限性保证，而后者源于 $\mathcal{H}$ 的统一性，从而将几何有限性与 $\Re C$ 的结构联系起来。