[论文解读] Coarse embeddability into Banach spaces

Mikhail I. Ostrovskii|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 49被引用 19

一句话总结

本文研究了度量空间到巴拿赫空間的粗嵌入，特別關注具有有界幾何性質的空間是否能粗嵌入到希爾伯特空間或其他巴拿赫空間。研究證明，若無法粗嵌入至 ℓ₂，則會出現類似擴展器的結構，並表明 ℓ₂ 並非最難嵌入的空間，同時提供了關於某些具有 Schauder 分解的巴拿赫空間中 ℓ₁ 嵌入的利普希茨常數的新構造與估計。

ABSTRACT

The main purposes of this paper are (1) To survey the area of coarse embeddability of metric spaces into Banach spaces, and, in particular, coarse embeddability of different Banach spaces into each other; (2) To present new results on the problems: (a) Whether coarse non-embeddability into $\ell_2$ implies presence of expander-like structures? (b) To what extent $\ell_2$ is the most difficult space to embed into?

研究动机与目标

• 對度量空間到巴拿赫空間的粗嵌入理論進行綜述，特別是針對具有有界幾何性質的空間。
• 研究粗非嵌入至 ℓ₂ 是否意味著度量空間中存在類似擴展器的結構。
• 確定 ℓ₂ 在粗嵌入中作為最困難巴拿赫空間的程度。
• 提出關於 ℓ₁ 嵌入至具有 Schauder 分解的巴拿赫空間中的新結果。
• 分析 Dvoretzky 定理與基序列構造在無限維巴拿赫空間嵌入中的作用。

提出的方法

• 使用透過控制函數 ρ₁ 和 ρ₂ 定義的粗嵌入，滿足 ρ₁(d(x,y)) ≤ d(f(x),f(y)) ≤ ρ₂(d(x,y))，且 limᵣ→∞ρ₁(r) = ∞。
• 應用有界幾何與局部有限度量空間的概念，以分析嵌入障礙。
• 採用 P. Enflo 的工作構造，並加以調整，以證明某些局部有限空間無法嵌入至希爾伯特空間。
• 使用擴展器——一類具有有正下界 Cheeger 常數的有限、正則、連通圖族——作為嵌入至 ℓₚ（1 ≤ p < ∞）的粗嵌入障礙。
• 構造一個從 ℓ₁ 到具有 Schauder 分解 {Yᵢ} ≅ ℓ₂ⁿᵢ 的巴拿赫空間 Y 的利普希茨映射 φ，並估計其利普希茨常數及其逆的常數。
• 應用 Dvoretzky 定理與基序列技巧，證明任何無限維巴拿赫空間均包含同構於具有此類分解的空間的子空間。

实验结果

研究问题

• RQ1 粗非嵌入至 ℓ₂ 是否意味著度量空間中存在類似擴展器的結構？
• RQ2 ℓ₂ 在具有有界幾何性質的度量空間的粗嵌入中，其困難程度達到何種程度？
• RQ3 每個無限維巴拿赫空間是否都包含同構於具有有限維 ℓ₂ⁿᵢ 子空間 Schauder 分解的子空間？
• RQ4 從 ℓ₁ 嵌入至具有特定 Schauder 分解的巴拿赫空間時，利普希茨常數的精確估計為何？
• RQ5 能否透過擴展器來刻畫某些局部有限度量空間無法嵌入至希爾伯特空間的性質？

主要发现

• 粗非嵌入至 ℓ₂ 意味著存在類似擴展器的結構，如 Gromov 所指出：若空間包含擴展器的等距複製，則無法粗嵌入至 ℓₚ（1 ≤ p < ∞）。
• ℓ₂ 並非最難嵌入的空間；存在具有 Schauder 分解為 ℓ₂ⁿᵢ 子空間的巴拿赫空間，使得某些度量空間可粗嵌入其中。
• 構造了一個從 ℓ₁ 到具有 Schauder 分解 {Yᵢ} ≅ ℓ₂ⁿᵢ 的巴拿赫空間 Y 的利普希茨嵌入 φ，其利普希茨常數估計基於 ||a||_Z 與 ||b||_Z 的範數比較。
• 當 ||a - b||_Z 明顯大於 ||a||_Z - ||b||_Z 時，特別是當 ||a - b||_Z ≥ 5(||a||_Z - ||b||_Z) 時，嵌入 φ 的逆具有受控的利普希茨常數。
• 當 ||a||_Z - ||b||_Z ≥ ||a - b||_Z / 5 時，嵌入中範數貢獻的總和提供了 ||φ(a) - φ(b)||_Y 的下界 ||a - b||_Z / 5。
• 利用 Dvoretzky 定理與基序列技巧，證明任何無限維巴拿赫空間均包含同構於具有有限維 ℓ₂ⁿᵢ 子空間 Schauder 分解的子空間，進而使得粗嵌入可實現於此類空間。