[论文解读] Coarse geometry and asymptotic dimension

Bernd Grave|ArXiv.org|Jan 30, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文通过证明：两个具有度量紧化的粗空间彼此粗等价，当且仅当它们的Higson边界同胚，建立了粗几何与渐近维数之间的深刻联系。本文通过投影-值测度引入平移C*-代数，证明了该构造与测度选择无关，并得出若干关键结果：对于具有度量紧化的空间，渐近维数等于覆盖维数加一；对于完备、单连通、负曲率的流形，其渐近维数等于其拓扑维数。

ABSTRACT

We consider asymptotic dimension of coarse spaces. We analyse coarse structures induced by metrisable compactifications. We calculate asymptotic dimension of coarse cell complexes. We calculate the asymptotic dimension of certain negatively curved spaces, e.g. for complete, simply connected manifolds with bounded, strictly negative sectional curvature.

研究动机与目标

• 通过具有度量紧化的空间的Higson边界来表征粗等价性。
• 基于投影-值测度，为具有均匀有界、可数覆盖的粗空间开发一个稳健的平移C*-代数框架。
• 在一般粗空间中表征渐近维数，并证明其基本性质，如单调性与乘积估计。
• 证明当κ < 0时，具有良好覆盖球面的CAT(κ)空间的渐近维数至多为n，并将此结果应用于证明：对于具有严格负曲率的完备、单连通黎曼流形，有asdim(X) = dim(X)。
• 解决一个猜想：粗胞复形的渐近维数等于其维数。

提出的方法

• 定义由度量紧化诱导的粗结构，并利用Higson边界构造，将粗等价性与边界之间的拓扑同胚联系起来。
• 在具有均匀有界、可数覆盖的粗空间上，利用投影-值测度构造平移C*-代数，并证明该构造与测度选择无关。
• 为几何希尔伯特空间上的算子引入一种支撑演算，以在算子理论中精确处理零测集。
• 为伪度量与粗空间定义渐近维数，并证明其基本性质，如单调性与有限并公式。
• 引入粗胞复形，并通过三角剖分技术证明其渐近维数等于其维数。
• 利用负曲率流形中球面的微分几何性质，证明有界几何性，并应用关于有界畸变三角剖分的结果，证明asdim(X) = dim(X)。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个具有度量紧化的粗空间何时彼此粗等价？
• RQ2 如何构造平移C*-代数，并证明其与底层投影-值测度无关？
• RQ3 渐近维数与Higson边界的覆盖维数之间有何关系？
• RQ4 具有严格负截面曲率的完备、单连通黎曼流形的渐近维数是多少？
• RQ5 粗胞复形的渐近维数是否等于其拓扑维数？

主要发现

• 两个具有度量紧化的粗空间彼此粗等价，当且仅当它们的Higson边界同胚。
• 由度量紧化K诱导的粗空间(X, E)的渐近维数为asdim(X, E) = dim(K \ X) + 1。
• 对于具有有界、严格负截面曲率的完备、单连通黎曼流形，有asdim(X) = dim(X)。
• 存在粗空间X和Y，使得asdim(X × Y) < asdim(X) + asdim(Y)，表明存在次可加性。
• 具有κ < 0的CAT(κ)空间，若其球面被良好覆盖，则其渐近维数至多为n，其中n为球面的维数。
• 粗胞复形的渐近维数等于其维数，从而证实了一个自然的猜想。