[论文解读] Coarse-grained dynamics of operator and state entanglement

Cheryne Jonay, David A. Huse+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2018

Quantum many-body systems参考文献 20被引用 31

一句话总结

本文为混沌量子多体系统中的纠缠动力学提出了一种粗粒度流体动力学理论，表明算符与态的纠缠增长由一个与模型相关的函数 𝒟(𝐯) 所支配，该函数在时空中代表‘表面张力’。研究发现，传播算符的纠缠程度显著低于相同空间范围的典型算符，揭示了算符纠缠中存在结构性抑制，该抑制通过金字塔形的纠缠分布图量化，并通过时间演化算符的算符纠缠数值提取。

ABSTRACT

We give a detailed theory for the leading coarse-grained dynamics of entanglement entropy of states and of operators in generic short-range interacting quantum many-body systems. This includes operators spreading under Heisenberg time evolution, which we find are much less entangled than "typical" operators of the same spatial support. Extending previous conjectures based on random circuit dynamics, we provide evidence that the leading-order entanglement dynamics of a given chaotic system are determined by a function $\mathcal{E}(v)$, which is model-dependent, but which we argue satisfies certain general constraints. In a minimal membrane picture, $\mathcal{E}(v)$ is the "surface tension" of the membrane and is a function of the membrane's orientation $v$ in spacetime. For one-dimensional (1D) systems this surface tension is related by a Legendre transformation to an entanglement entropy growth rate $Γ(\partial S/\partial x)$ which depends on the spatial "gradient" of the entanglement entropy $S(x,t)$ across the cut at position $x$. We show how to extract the entanglement growth functions numerically in 1D at infinite temperature using the concept of the operator entanglement of the time evolution operator, and we discuss possible universality of $\mathcal{E}$ at low temperatures. Our theoretical ideas are tested against and informed by numerical results for a quantum-chaotic 1D spin Hamiltonian. These results are relevant to the broad class of chaotic many-particle systems or field theories with spatially local interactions, both in 1D and above.

研究动机与目标

• 为通用短程相互作用量子系统中的纠缠熵动力学发展一种粗粒度流体动力学描述。
• 理解为何在混沌系统中传播算符的纠缠程度低于具有相同空间支撑的典型算符。
• 识别并提取决定纠缠产生速率的模型特异性函数 𝒟(𝐯)，该函数被解释为时空中的‘表面张力’。
• 通过含纵向和横向场的量子混沌一维自旋链进行数值测试。
• 探讨低温下纠缠动力学的普适性以及守恒定律的作用。

提出的方法

• 引入一种粗粒度膜图像，将纠缠映射为具有方向 𝐯 的时空膜的能量，其由表面张力函数 𝒟(𝐯) 所支配。
• 使用勒让德变换将纠缠产生率 Γ(∂S/∂x) 与表面张力函数 𝒟(𝐯) 关联，将纠缠熵的空间梯度与动力学联系起来。
• 定义并计算时间演化算符 U(t) 的算符纠缠，以在无限温度下于一维系统中数值提取 𝒟eff(v)。
• 利用泡利权重 W(L,t) 及其时间导数，定义算符前缘抵达系统边界的时间 t_arrival，从而提取蝴蝶速度 v_B。
• 对纠缠分布图和算符扩散进行有限尺寸标度，以估计 s_spread 和 v_B，数据收敛至热力学极限。
• 使用 L=8 至 14 的量子混沌伊辛链进行理论与数值模拟对比，哈密顿量为 H = ∑Z_i Z_{i+1} + h∑Z_i + g∑X_i。

实验结果

研究问题

• RQ1 混沌量子系统中纠缠熵的粗粒度动力学如何依赖于截面处纠缠的空间梯度？
• RQ2 为何在混沌系统中传播算符的纠缠程度低于具有相同空间支撑的典型算符？
• RQ3 表面张力函数 𝒟(𝐯) 的函数形式是什么？它满足哪些普遍约束？
• RQ4 能否从时间演化算符的算符纠缠中提取纠缠增长速率与蝴蝶速度？
• RQ5 函数 𝒟(𝐯) 在不同混沌系统中在多大程度上具有普适性，尤其是在低温下？

主要发现

• 在一维系统中，传播算符的纠缠分布 S(x,t) 呈现金字塔形，表明纠缠增长具有局域化前缘。
• 传播算符的纠缠程度显著低于具有相同空间范围的典型算符，其算符纠缠相对于最大可能值被抑制。
• 从时间演化算符 U(t) 提取的等效表面张力 𝒟eff(v) 显示有限尺寸效应，其衰减行为为 L/t，可靠数据可提取至 t=6（L=12）。
• 通过拟合 t_arrival 与系统尺寸 L 的关系，估计蝴蝶速度 v_B ≃ 1.82，其中到达时间定义为 ∂W(L,t)/∂t 的峰值处。
• 基于 L=8 至 14 的外推，纠缠扩散速率 s_spread 收敛于 0.9–1.0 的范围，当 L→∞ 时。
• 该理论为通过最小膜作用量理解纠缠动力学提供了框架，其中 𝒟(𝐯) 编码了系统特异性动力学及普遍约束。