[论文解读] Coarse injectivity, hierarchical hyperbolicity, and semihyperbolicity

Thomas Haettel, Nima Hoda+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 55被引用 17

一句话总结

本文在层次超曲空间上建立了一种新度量，该度量为粗等距嵌入且与原度量拟等距，证明了所有层次超曲群均为粗等距嵌入，因而为强短路空间。此外，本文还表明，具有均匀有界几何结构的粗等距嵌入空间为强短路空间，从而为这些群带来了强大的结构与算法性质，包括半双曲性、可解共轭问题，以及层次拟凸子群的有界打包性。

ABSTRACT

We relate three classes of nonpositively curved metric spaces: hierarchically hyperbolic spaces, coarsely injective spaces, and strongly shortcut spaces. We show that every hierarchically hyperbolic space admits a new metric that is coarsely injective. The new metric is quasi-isometric to the original metric and is preserved under automorphisms of the hierarchically hyperbolic space. We show that every coarsely injective metric space of uniformly bounded geometry is strongly shortcut. Consequently, hierarchically hyperbolic groups -- including mapping class groups of surfaces -- are coarsely injective and coarsely injective groups are strongly shortcut. Using these results, we deduce several important properties of hierarchically hyperbolic groups, including that they are semihyperbolic, have solvable conjugacy problem, have finitely many conjugacy classes of finite subgroups, and that their finitely generated abelian subgroups are undistorted. Along the way we show that hierarchically quasiconvex subgroups of hierarchically hyperbolic groups have bounded packing.

研究动机与目标

• 在层次超曲空间上构造一种新的拟等距度量，使其为粗等距嵌入且在自同构下保持不变。
• 证明每个具有均匀有界几何结构的粗等距嵌入空间均为强短路空间。
• 从层次超曲群的粗等距嵌入结构推导出其强大的算法与几何性质，如半双曲性与可解共轭问题。
• 证明层次超曲群的层次拟凸子群具有有界打包性。
• 统一三类非正曲率空间：层次超曲空间、粗等距嵌入空间与强短路空间。

提出的方法

• 通过将Bowditch在有限秩中位空间上的等距度量构造推广，为层次超曲空间 (X, S) 构造一种新度量 σ。
• 通过源自Chepoi、Dragan与Vaxès在双曲空间结果的层次化推广，利用球的粗Helly性质，证明新度量 σ 为粗等距嵌入且与原度量 d 拟等距。
• 利用度量空间为粗等距嵌入当且仅当其在等距包中为粗稠密的性质，通过在等距包中构造最小半径函数来定义新度量。
• 通过证明在新度量下，两两接近的球具有统一有界的交集，从而在层次超曲空间中应用球的粗Helly性质。
• 通过在 (K,C)-拟等距嵌入的黎曼圆上，有界半径球中点数目的有界性，证明粗等距嵌入空间在具有均匀有界几何结构时满足强短路性质。
• 通过在等距包中构造一系列最小半径函数，当假设此类嵌入下几何结构无界时导出矛盾，从而证明强短路性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个层次超曲空间是否都能配备一种与原度量拟等距的粗等距嵌入度量，且在自同构下保持不变？
• RQ2 每个具有均匀有界几何结构的粗等距嵌入度量空间是否均为强短路空间？
• RQ3 层次超曲群是否能从其粗等距嵌入结构继承诸如半双曲性与可解共轭问题等强算法性质？
• RQ4 层次超曲群的层次拟凸子群是否具有有界打包性？
• RQ5 在包含关系与几何性质方面，层次超曲空间、粗等距嵌入空间与强短路空间三类空间之间有何关系？

主要发现

• 每个层次超曲空间均存在一种新度量 σ，其为粗等距嵌入且与原度量拟等距，且 σ 在空间的自同构群作用下不变。
• 每个具有均匀有界几何结构的粗等距嵌入度量空间均为强短路空间，从而在粗等距嵌入与强短路性之间建立了直接联系。
• 作为推论，所有层次超曲群——包括映射类群——均为粗等距嵌入，因而为强短路空间。
• 层次超曲群为半双曲群，具有可解共轭问题，且有限子群的共轭类有限。
• 层次超曲群中的有限生成阿贝尔子群为无畸变的，且层次拟凸子群具有有界打包性。
• 该构造在层次超曲群上产生了一种典范的、等变的且近似测地的度量，该度量满足强短路性质。