[论文解读] Cobordism Categories and Parametrized Morse Theory

Nathan Perlmutter|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了具有受限莫尔斯函数的 cobordism 范畴的分类空间与一个 Thom 谱的无限循环空间之间的弱同伦等价。通过将 cobordism 上莫尔斯函数的临界点指标限制在中心范围之外，作者推广了 Madsen-Weiss 定理，为偶数维流形模空间的高维 Mumford 猜想提供了新的证明。

ABSTRACT

Fix a tangential structure $θ: B \longrightarrow BO(d+1)$ and an integer $k < d/2$. In this paper we determine the homotopy type of a cobordism category $\mathbf{Cob}^{ ext{mf}, k}_θ$, where morphisms are given by $θ$-cobordisms $W: P ightsquigarrow Q$ equipped with a choice of proper Morse function $h_{W}: W \longrightarrow [0, 1]$, with the property that all critical points $c \in W$ of $h_{W}$ satisfy the condition: $k < ext{index}(c) < d-k+1$. In particular, we prove that there is a weak homotopy equivalence $B\mathbf{Cob}^{ ext{mf}, k}_θ \simeqΩ^{\infty}\mathbf{hW}^{k}_θ$, where $\mathbf{hW}^{k}_θ$ is a Thom spectrum associated to the space of Morse jets on $\mathbb{R}^{d+1}$. In the special case that $k = -1$, the equivalence $B\mathbf{Cob}^{ ext{mf}, -1}_θ \simeqΩ^{\infty}\mathbf{hW}^{-1}_θ$ follows from the work of Madsen and Weiss used in their celebrated proof of the Mumford conjecture. Following the methods of Madsen and Weiss we use the weak equivalence $B\mathbf{Cob}^{ ext{mf}, k}_θ \simeqΩ^{\infty}\mathbf{hW}^{k}_θ$ to give an alternative proof the "high-dimensional Madsen-Weiss theorem" of Galatius and Randal-Williams which identifies the homology of the moduli spaces, $BDiff((S^{n} imes S^{n})^{\# g}, D^{2n})$, in the limit $g o \infty$.

研究动机与目标

• 确定一个 cobordism 范畴 ${\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta}$ 的同伦类型，其中态射是具有受限临界点指标的 $\theta$-cobordism。
• 通过将同伦等价从完整的 cobordism 范畴推广到具有指标受限的莫尔斯函数的子范畴，推广 Madsen-Weiss 定理。
• 通过这种新等价性，为 $2n$-流形模空间的高维 Madsen-Weiss 定理提供另一种证明。
• 建立弱同伦等价 $B{\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta} \simeq \Omega^{\infty}\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$，其中 $\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$ 是 $\mathbb{R}^{d+1}$ 上莫尔斯喷射的 Thom 谱。
• 将 Madsen 和 Weiss 的框架扩展至处理由对象的 $\theta$-结构连通性条件定义的子范畴。

提出的方法

• 将 cobordism 范畴 ${\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta}$ 定义为 ${\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf}}_{\theta}$ 的子范畴，其中对象是具有 $k$-连通 $\theta$-结构的 $d$-流形，态射是其临界点指标位于 $(k, d-k+1)$ 内的 $\theta$-cobordism。
• 利用 Pontryagin-Thom 构造和同伦余极限分解来分析分类空间 $B{\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta}$，将其与嵌入空间和 $\theta$-结构空间联系起来。
• 构造一个局部化序列并使用参数化手术技术将其分解，以隔离受限指标的胞腔的贡献。
• 引入空间 $\mathcal{L}^{k}_{P,\mathbf{t}}$，即具有指标受限胞腔的框架 cobordism 空间，并通过显式构造的轨迹映射和化解映射，证明其与莫尔斯数据空间 $\mathcal{W}^{k}_{P,\mathbf{t}}$ 之间存在弱同伦等价。
• 通过在偏序范畴 $\mathcal{K}^k$ 上的函子之间的自然变换，建立 cobordism 范畴的分类空间与无限循环空间 $\Omega^{\infty}\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$ 之间的弱同伦等价的交错链。
• 利用等价性 $\mathcal{L}^{k}_{P,\mathbf{t}} \simeq \mathcal{W}^{k}_{P,\mathbf{t}}$，通过追踪同伦余极限并应用 Madsen-Weiss 的已知结果，证明主要结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 cobordism 范畴 ${\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta}$ 的同伦类型是什么，其中态射是其临界点指标位于 $(k, d-k+1)$ 内的 $\theta$-cobordism？
• RQ2 Madsen-Weiss 定理能否推广到具有受限莫尔斯函数行为的 cobordism 子范畴？
• RQ3 包含指标受限的莫尔斯函数如何影响 cobordism 范畴的分类空间的同伦类型？
• RQ4 是否存在 $B{\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta}$ 与 Thom 谱 $\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$ 的无限循环空间之间的弱同伦等价？
• RQ5 能否利用这种新等价性，为受限 cobordism 范畴的高维 Madsen-Weiss 定理提供新的证明？

主要发现

• 存在弱同伦等价 $B{\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta} \simeq \Omega^{\infty}\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$，其中 $\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$ 是与 $\mathbb{R}^{d+1}$ 上莫尔斯喷射空间相关的 Thom 谱。
• 当 $k = -1$ 时，该结果恢复了原始的 Madsen-Weiss 定理，后者曾被用于其对 Mumford 猜想的证明。
• 该等价性允许为模空间 $\operatorname*{BDiff}((S^n \times S^n)^{\#g}, D^{2n})$ 在 $g \to \infty$ 极限下的高维 Madsen-Weiss 定理提供另一种证明。
• 该证明依赖于具有指标受限胞腔的框架 cobordism 空间与莫尔斯数据空间之间弱同伦等价的建立，该等价性通过显式构造的轨迹映射和化解映射实现。
• 通过弱同伦等价的交错链，证明了分类空间的同伦余极限等价于 Thom 谱 $\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$ 的无限循环空间。
• 该构造通过在对象的 $\theta$-结构中引入连通性约束以及在莫尔斯函数中引入指标约束，推广了 Madsen-Weiss 的框架，同时保持了基本的同伦结构。