[论文解读] Cobordism invariants of fold maps

Boldizsár Kalmár|ArXiv.org|Sep 4, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 12

一句话总结

本文為折疊地圖建立了一種Pontryagin-Thom類型的構造，透過框架化浸入將折疊地圖的cobordism類與分類空間$BO(k)$的穩定同倫群聯繫起來。透過在具有指定對稱群的浸入流形上構造Morse函數的纖維化，作者證明了$BO(k)$的穩定同倫群作為折疊地圖的cobordism半群中的直和分量出現，將先前針對球面的結果推廣至廣義的分類空間。

ABSTRACT

This is a survey paper of author's results on cobordism groups and semigroups of fold maps and simple fold maps. The results include: establishing a relation between fold maps and immersions through geometrical invariants of cobordism classes of fold maps and simple fold maps in terms of immersions with prescribed normal bundles, detecting stable homotopy groups of spheres as direct summands of the cobordism semigroups of fold maps, Pontryagin-Thom type construction for -1 codimensional fold maps and estimations about the cobordism classes of manifolds which have fold maps into stably parallelizable manifolds. In the last section some of these results are extended and we show that our invariants also detect stable homotopy groups of the classifying spaces $BO(k)$ as direct summands of the cobordism semigroups of fold maps.

研究动机与目标

• 將先前關於折疊地圖的cobordism不變量結果推廣至包含分類空間$BO(k)$的穩定同倫群。
• 透過Pontryagin-Thom類型構造，建立折疊地圖與具有指定法叢的浸入之間的幾何對應關係。
• 證明折疊地圖的cobordism半群包含$BO(k)$的穩定同倫群作為直和分量。
• 將不變量從折疊地圖到球面的結果推廣至到穩定平行化流形的折疊地圖。

提出的方法

• 在具有特定對稱群的局部模型折疊胚芽上，於浸入流形上構造Morse函數的纖維化。
• 定義從浸入的cobordism群到折疊cobordism半群的同態$\alpha_{j,q}^N$，利用奇點集的標準框架。
• 利用複合映射$\xi_{j,q}^N \circ \alpha_{j,q}^N$，透過映射空間上的誘導映射將其與穩定同倫群聯繫起來。
• 應用穩定同倫群之間的自然同態$\beta_{j,*}$以檢測單射性與直和分量結構。
• 利用複合映射$\xi_{j,q}^N \circ \alpha_{j,q}^N$在某些分量上作用為恆等映射的事實，證明cobordism半群中存在直和分量。
• 使用$(q+1)$-球面與Morse函數$h_j$的模型分析胞腔分解與對稱性，確保構造的良定義性。

实验结果

研究问题

• RQ1 折疊地圖的cobordism半群能否檢測到$BO(k)$的穩定同倫群作為直和分量？
• RQ2 如何將Pontryagin-Thom類型構造適應於具有指定法叢的折疊地圖？
• RQ3 對稱群在從浸入構造折疊地圖的過程中扮演何種角色？
• RQ4 折疊地圖的不變量與分類空間的穩定同倫群之間有何關係？
• RQ5 這些結果如何從折疊地圖到球面推廣至到穩定平行化流形的折疊地圖？

主要发现

• 對於$2 \leq j < (q+1)/2$，cobordism半群$\mathcal{C}ob_{N,f}(n+q,-q)$包含穩定同倫群$\pi_1^s(B(O(1,j-1)\times O(q+1-j)))$作為直和分量。
• 當$n=2$且$N^2 = \mathbb{R}^2$時，cobordism群$\mathcal{C}ob_f(2+q,-q)$包含$\mathbb{Z}_2^{3\lfloor q/2\rfloor}$作為直和分量。
• cobordism群$\mathcal{C}ob_f^O(2+q,-q)$包含$\mathbb{Z}_2^{2\lfloor q/2\rfloor}$作為直和分量。
• 複合映射$\xi_{j,q}^N \circ \alpha_{j,q}^N$在分量$\{\dot{N}, SB(O(1,j-1)\times O(q+1-j))\}$上作用為恆等映射，從而證明了直和分量的存在性。
• $\alpha_{1,q}^N$同態因奇點集的標準框架與Morse函數模型的對稱性而良定義。
• 該構造推廣了先前檢測$\pi_n^s$在折疊cobordism半群中的結果，將不變量的適用範圍擴展至$BO(k)$的情形。