[论文解读] Cobordisms of fold maps and maps with prescribed number of cusps

Tobias Ekholm, András Szücs+1 more|ArXiv.org|Jan 16, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文确定了闭合 2k-流形到 (3k−1)-空间的稳定映射中可能的尖点数量，并计算了映射到 (3k−2)-维目标流形的折痕映射的钴 bordism 群。研究发现，对于映射到 (6m+1)-维流形的定向 (4m+1)-流形，折痕钴 bordism 群同构于定向 bordism 群；而对于 (4m−1)-流形，其同构于定向 bordism 群模去一个 Z_{3^t} 因子，其中 t 依赖于 2m+j 的三进制数位和。

ABSTRACT

A generic smooth map of a closed $2k$-manifold into $(3k-1)$-space has a finite number of cusps ($Σ^{1,1}$-singularities). We determine the possible numbers of cusps of such maps. A fold map is a map with singular set consisting of only fold singularities ($Σ^{1,0}$-singularities). Two fold maps are fold bordant if there are cobordisms between their source- and target manifolds with a fold map extending the two maps between the boundaries, if the two targets agree and the target cobordism can be taken as a product with a unit interval then the maps are fold cobordant. We compute the cobordism groups of fold maps of $(2k-1)$-manifolds into $(3k-2)$-space. Analogous cobordism semi-groups for arbitrary closed $(3k-2)$-dimensional target manifolds are endowed with Abelian group structures and described. Fold bordism groups in the same dimensions are described as well.

研究动机与目标

• 确定闭合 2k-流形到 (3k−1)-空间的稳定映射中可能的尖点数量。
• 计算 (2k−1)-流形到 (3k−2)-空间的折痕映射的钴 bordism 群。
• 描述映射到任意闭合 (3k−2)-维流形的折痕映射的钴 bordism 半群结构，特别是其阿贝尔群结构。
• 分析上法正交庞特里亚金类与三进制数位和在确定定向折痕映射钴 bordism 群扭量中的作用。

提出的方法

• 使用喷射横截定理确定奇点层的余维数：折痕奇点的余维数为 k+1，尖点的余维数为 2(k+1)。
• 应用横截性与钴 bordism 理论，证明当 2k+1 > n 时，折痕钴 bordism 类由源流形决定，并在等式成立时计算这些群。
• 采用从折痕钴 bordism 群到定向 bordism 群的遗忘态射，分析其为同构或具有扭量扩张的条件。
• 引入一种模 2 的尖点数量计数不变量，用于检测 Z_2 扭量，并通过整数的三进制数位和将该方法推广至 Z_{3^t} 扭量。
• 利用普遍系数定理与庞加莱对偶性，将目标流形的同调条件与到 Z_2 的同态消失性联系起来，从而控制尖点奇偶性。
• 应用代数拓扑工具，包括 Ext 与 Hom 范函，证明半群的正合序列意味着钴 bordism 半群具有群结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在闭合 2k-流形到 (3k−1)-空间的稳定映射中，可能的尖点数量有哪些？
• RQ2 从折痕映射钴 bordism 群到定向 bordism 群的遗忘映射在何时为同构？
• RQ3 映射到一般 (3k−2)-维流形的折痕映射钴 bordism 半群的结构是什么？
• RQ4 代数意义下的尖点数量（带符号计数）如何决定 (4m−1)-流形的折痕映射钴 bordism 群中的扭量？
• RQ5 在目标流形 P 的何种拓扑条件下，折痕映射钴 bordism 群可分解为 bordism 群与 Z_{3^t} 因子的直和？

主要发现

• 对任意 k ≥ 0，(2k+1)-流形到 R^{3k−1} 的折痕映射钴 bordism 群同构于非定向 bordism 群 N_{2k+1}。
• 定向折痕钴 bordism 群 Σ^1,0_so(1,0) 同构于 Z_2。
• 对 m ≥ 2，定向折痕钴 bordism 群 Σ^1,0_so(4m+1,2m) 同构于定向 bordism 群 Ω_{4m+1}。
• 对 m ≥ 1，定向折痕钴 bordism 群 Σ^1,0_so(4m−1,2m−1) 同构于 Ω_{4m−1} ⊕ Z_{3^t}，其中 t = min{j | α_3(2m+j) ≤ 3j}，α_3(x) 为 x 在三进制下的数位和。
• 对一个 7 维定向流形 P，若 H_1(P;Z_2) 与 H_2(P;Z_2) 均为平凡，则钴 bordism 群 Σ^1,0_so(5,P) 满足正合序列 0 → Z_2 → Σ^1,0_so(5,P) → Ω_5(P) → 0。
• 对一个 6m−2 维定向流形 P，钴 bordism 群 Σ^1,0_so(4m−1,P) 满足正合序列 0 → Z_{3^v} → Σ^1,0_so(4m−1,P) → Ω_{4m−1}(P) → 0，其中 v ≤ t，t 如上所述。