[论文解读] Cobordisms of maps without prescribed singularities

Yoshifumi Ando|ArXiv.org|Dec 13, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用 9

一句话总结

该论文通过使用Thom-Boardman符号定义$Ω^I$-正则映射，建立了具有受控奇点的光滑流形间映射的同伦理论分类。研究表明，此类映射的cobordism群通过Thom复形构造同构于一个稳定同伦群，并将此结果应用于通过奇点的代数不变量（包括$e$-不变量和切丛的特征类）检测球面稳定同伦群中的元素。

ABSTRACT

Let $N$ and $P$ be smooth closed manifolds of dimensions $n$ and $p$ respectively. Given a Thom-Boardman symbol $I$, a smooth map $f:N o P$ is called an $Ω^{I}$-regular map if and only if the Thom-Boardman symbol of each singular point of $f$ is not greater than $I$ in the lexicographic order. We will represent the group of all cobordism classes of $Ω^{I}$-regular maps of $n$-dimensional closed manifolds into $P$ in terms of certain stable homotopy groups. As an application we will study the relationship among the stable homotopy groups of spheres, the above cobordism group and higher singularities.

研究动机与目标

• 通过Thom-Boardman符号定义并研究具有受控奇点的光滑映射的cobordism理论。
• 在$Ω^I$-正则映射的cobordism群与一个稳定同伦群之间建立同伦理论同构。
• 利用从映射奇点导出的代数不变量检测球面的稳定同伦类。
• 将高阶奇点与特征类（如$P_1$、$P_2$）与$π_n^S$中的不变量（如$e$-不变量）联系起来。

提出的方法

• 通过Thom-Boardman符号的词典序定义$Ω^I$-正则映射，限制喷射芽至符号$≤ I$的类型。
• 在相关向量丛的Thom空间之间构造一个丛映射$\mathbf{b}(\widehat{\gamma})^{(\Omega_n^I,\Omega_{n+1}^J)}$。
• 利用在稳定同伦群上诱导的Thom映射来表示cobordism类。
• 应用示痕理论和特征类（$w_2$、$P_1$、$P_2$）检测$π_n^S$中的非平凡元素。
• 使用Vassiliev复形和Thom多项式计算特定类型奇点$(x^2+y^2,x^4)$与$(x^2+y^3,xy^2)$的代数计数。
• 将奇点代数计数模24或240与稳定同伦不变量（包括$e$-不变量）联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用稳定同伦群对具有受控奇点的映射的cobordism类进行分类？
• RQ2 映射的奇点（通过Thom-Boardman符号表示）与关联映射的稳定同伦类之间的确切关系是什么？
• RQ3 特征类如$w_2$、$P_1$和$P_2$如何在$n=1,2,3,7$时检测$π_n^S$中的非平凡元素？
• RQ4 能否从特定类型映射中奇点的代数计数恢复$e$-不变量？
• RQ5 Vassiliev复形和Thom多项式在计算奇异映射不变量中起什么作用？

主要发现

• 当$n=1$时，$e$-不变量模2由$(1,1,0)$-奇点的模2计数检测。
• 当$n=2$时，稳定同伦类$ω_0([f]) \neq 0$当且仅当$w_2(\tau(\widehat{V},\mathcal{T}(f))) \neq 0$，这对应于存在$(1,1,0)$-奇点。
• 当$n=3$时，$e$-不变量等于$P_1(\tau(\widehat{V},\mathcal{T}(f)))/2$模24，且$(2,0)$-奇点的代数计数给出了$π_3^S \approx \mathbb{Z}/(24)$。
• 当$n=7$时，稳定同伦类由$P_2(\tau(\widehat{V},\mathcal{T}(f)))/6$模240检测，$(2,0)$和$(2,1)$-奇点的代数计数给出了该不变量。
• 奇点类型$(x^2+y^3,xy^2)$与$IV_4$的代数计数之差$A - 2B$可被54整除，且$(A-2B)/54$对应于$π_7^S \approx \mathbb{Z}/(240)$中的稳定同伦类。
• 循环$\langle(x^2+y^3,xy^2) - 2IV_4\rangle$的Thom多项式为$9P_2(\tau(\widehat{V},\mathcal{T}(f)))$，将奇点计数与特征类联系起来。