[论文解读] Cobordisms of sutured manifolds

András Juhász|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 16

一句话总结

本文引入了sutured流形之间cobordism的新概念，并证明此类cobordism在sutured Floer同调上诱导出映射，统一了闭3-流形的cobordism映射与接触粘合映射。该构造使sutured Floer同调成为类似TQFT的理论，并证明了链的Floer同调对多变量Alexander多项式具有范畴化作用。

ABSTRACT

It has been a central open problem in Heegaard Floer theory whether cobordisms of links induce homomorphisms on the associated link Floer homology groups. We provide an affirmative answer by introducing a natural notion of cobordism between sutured manifolds, and showing that such a cobordism induces a map on sutured Floer homology. This map is a common generalization of the hat version of the closed 3-manifold cobordism map in Heegaard Floer theory, and the contact gluing map defined by Honda, Kazez, and Matic. We show that sutured Floer homology, together with the above cobordism maps, forms a type of TQFT in the sense of Atiyah. Applied to the sutured manifold cobordism complementary to a decorated link cobordism, our theory gives rise to the desired map on link Floer homology. Hence, link Floer homology is a categorification of the multi-variable Alexander polynomial. We outline an alternative definition of the contact gluing map using only the contact element and handle maps. Finally, we show that a Weinstein sutured manifold cobordism preserves the contact element.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：即链的cobordism是否在链的Floer同调上诱导出同态映射。
• 定义sutured流形之间自然的cobordism概念，该概念同时推广了3-流形的cobordism与接触粘合。
• 证明在这些cobordism映射下，sutured Floer同调满足Atiyah风格的TQFT公理框架。
• 证明一个装饰链cobordism的补cobordism在链的Floer同调上诱导出所需的映射。
• 提供一种仅使用接触元与处理映射的接触粘合映射的替代定义。

提出的方法

• 引入sutured流形之间cobordism的新定义，该定义尊重sutured结构与边界条件。
• 利用Heegaard Floer理论中的全纯曲线技术，为每类此类cobordism构造sutured Floer同调上的函子性映射。
• 证明cobordism映射在Heegaard Floer理论中限制为闭3-流形cobordism映射的帽版本。
• 证明cobordism映射通过接触元与处理附加映射，也恢复了Honda、Kazez与Matic的接触粘合映射。
• 建立函子性与复合律，以验证在这些cobordism下sutured Floer同调的TQFT-like结构。
• 利用Weinstein cobordism证明，Weinstein型sutured流形cobordism保持了sutured Floer同调中的接触元。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义sutured流形之间具有良好定义的cobordism关系，使得其在sutured Floer同调上诱导出映射？
• RQ2 该cobordism映射是否同时推广了Heegaard Floer理论中闭3-流形cobordism映射与接触粘合映射？
• RQ3 能否将带有这些cobordism映射的sutured Floer同调视为Atiyah意义上的TQFT？
• RQ4 装饰链cobordism的补cobordism是否在链的Floer同调上诱导出良好定义的映射？
• RQ5 能否仅使用接触元与处理映射来重新定义接触粘合映射，而无需额外结构？

主要发现

• 定义了sutured流形之间自然的cobordism概念，且每一类此类cobordism均在sutured Floer同调上诱导出良好定义的映射。
• 所诱导的cobordism映射同时推广了Heegaard Floer理论中闭3-流形cobordism映射的帽版本与Honda、Kazez与Matic的接触粘合映射。
• 在这些cobordism映射下，sutured Floer同调满足Atiyah意义下的TQFT公理，包括函子性与复合律。
• 将该理论应用于装饰链cobordism的补cobordism，可得到链的Floer同调上所需的同态，从而确认链的Floer同调对多变量Alexander多项式具有范畴化作用。
• 提供了接触粘合映射的替代定义，仅依赖于接触元与处理映射，无需额外结构。
• Weinstein型sutured流形cobordism保持了sutured Floer同调中的接触元，确立了几何一致性条件。