[论文解读] Cobordisms with chronologies and a generalisation of the Khovanov complex

Krzysztof K. Putyra|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文引入了一类新型的、带有时间顺序的cobordism——其上的Morse函数为到区间的投影，从而为偶数与奇数Khovanov链上同调理论提供统一的框架。通过在该范畴中构造一个tangle不变复形，并应用函子，作者成功恢复了两种同调理论，填补了在cobordism基础形式化中对奇数Khovanov上同调缺乏分类的空白。

ABSTRACT

There are two categorifications of the Jones polynomial: "even" discovered by M.Khovanov in 1999 and "odd" dicovered by P.Ozsvath, J.Rasmussen and Z.Szabo in 2007. The first one can be fully constructed in the category of cobordisms (strictly: in the additive closure of that category), where we can build a complex for a given tangle and show its invariance under Reidemeister moves. The even link homology is given by a monoidal functor from cobordisms into modules. However, odd link homology cannot be obtained in this way. In this paper I fill this gap. I enrich cobordisms with chronologies (projections onto intervals which are Morse separable functions) and show that they form a category. Given a tangle diagram I take the cube of its resolutions and build a complex in this new category. I show this complex is a tangle invariant and applying appropriate functors I can recover both even and odd link homology theories.

研究动机与目标

• 为解决奇数Khovanov上同调缺乏基于cobordism的构造问题，该问题无法通过标准cobordism的张量函子获得。
• 通过引入时间顺序，扩展cobordism的范畴，确保Morse函数与tangle分解相容。
• 在tangle图的分解立方体基础上，于新范畴中构造一个复形，并证明其在Reidemeister移动下保持不变。
• 证明通过适当函子作用于该复形，可恢复偶数与奇数链上同调理论。
• 提供一个范畴框架，将现有的Khovanov型上同调理论统一于单一几何构造之下。

提出的方法

• 在cobordism范畴中引入时间顺序——即投影到区间上的Morse函数，且为Morse可分的。
• 定义一个新的带时间顺序的cobordism范畴，其中态射为配备时间结构的cobordism。
• 为tangle图构造一个分解立方体，并将其提升至带时间顺序的cobordism范畴中。
• 在该增强范畴中构建复形，利用分解数据与时间数据定义微分。
• 通过证明时间结构保持同伦等价性，证明复形在Reidemeister移动下保持不变。
• 对复形应用张量函子，以恢复偶数与奇数Khovanov链上同调理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 奇数Khovanov上同调能否通过类似于偶数情形的cobordism形式化进行范畴化构造？
• RQ2 如何将时间顺序结构整合进cobordism中，以在Reidemeister移动下保持不变性？
• RQ3 是否存在一个统一的范畴框架，能够同时捕捉偶数与奇数Khovanov上同调理论？
• RQ4 Morse函数（即时间顺序）在区分或统一不同链上同调理论中起什么作用？
• RQ5 能否在一个带有时间数据的范畴中构建tangle不变复形，且该复形是函子性的？

主要发现

• 带时间顺序的cobordism范畴定义良好，且在复合下封闭，构成拓扑构造的有效范畴。
• 在带时间顺序的cobordism范畴中，由分解立方体构建的复形在所有Reidemeister移动下保持不变，证明其为tangle不变量。
• 对复形应用标准函子可得到偶数Khovanov上同调，而应用修改后的函子可恢复奇数Khovanov上同调。
• 该构造为奇数Khovanov上同调提供了几何与范畴论基础，此前该理论缺乏此类形式化。
• 引入时间顺序使得Khovanov复形的一致且结构化的推广成为可能，从而统一了两种上同调理论。
• 该框架表明，偶数与奇数上同调理论均为单一不变复形在不同函子作用下的像。