[论文解读] Cobweb Posets and KoDAG Digraphs are Representing Natural Join of Relations, their diBigraphs and the Corresponding Adjacency Matrices

A. K. Kwaśniewski|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的代数框架，通过蛛网偏序集（cobweb posets）及其关联的 KoDAG（Ko-ordered Directed Acyclic Graph）有向图，用二元关系的自然连接（$ oplus o$）表示多目关系，其中二元关系以双二分图（di-bicliques）表示。关键贡献在于证明所有多目关系均可表示为这类二元组件的自然连接，并且 KoDAG 是由链式连接完全二分有向图 $ rightarrow{K_{k,k+1}}$ 构成的 Ferrers 有向图，从而为任意关系提供了一种通用且链式完备的表示方法。

ABSTRACT

Natural join of $di-bigraphs$ that is directed biparted graphs and their corresponding adjacency matrices is defined and then applied to investigate the so called cobweb posets and their $Hasse$ digraphs called $KoDAGs$. $KoDAGs$ are special orderable directed acyclic graphs which are cover relation digraphs of cobweb posets introduced by the author few years ago. $KoDAGs$ appear to be distinguished family of $Ferrers$ digraphs which are natural join of a corresponding ordering chain of one direction directed cliques called $di-bicliques$. These digraphs serve to represent faithfully corresponding relations of arbitrary arity so that all relations of arbitrary arity are their subrelations. Being this $chain -way$ complete if compared with kompletne $Kuratowski$ bipartite graphs their $DAG$ denotation is accompanied with the letter $K$ in front of descriptive abbreviation $oDAG$. The way to join bipartite digraphs of binary into $multi-ary$ relations is the natural join operation either on relations or their digraph representatives. This natural join operation is denoted here by $\os$ symbol deliberately referring to the direct sum $\oplus$ of adjacency matrices as it becomes the case for disjoint $di-bigraphs$.

研究动机与目标

• 通过自然连接运算导出的分级有向图，形式化表示任意元数关系。
• 将 KoDAG 表征为自然连接的双二分图的传递约化所生成的一类特殊 Ferrers 有向图。
• 建立所有多目关系均为一个通用 $K$-关系（KoDAG）的子关系，从而确保关系表示的完备性。
• 通过 $ oplus\!\to$ 算子统一关系代数、邻接矩阵与有向图表示，其作用类似于直和，但适用于具有重叠定义域的关系。

提出的方法

• 将两个二元关系的自然连接 $ oplus\!\to$ 定义为一种二元运算，该运算结合具有匹配定义域-值域对的关系，生成一个多目关系。
• 将每个二元关系 $E_k \subseteq \Phi_k \times \Phi_{k+1}$ 表示为有向二分有向图 $ rightarrow{K_{k,k+1}}$，称为双二分图（di-biclique）。
• 通过此类双二分图的链式结构构建 KoDAG，形成具有有限宽度的分级、无环有向图。
• 利用双有向图邻接矩阵的自然连接运算，构建完整多目关系的邻接矩阵。
• 通过验证邻接矩阵上的 Ferrers 条件，证明所得有向图为 Ferrers 有向图。
• 通过 $n$ 个二元关系 $E_k \subseteq \Phi_k \times \Phi_{k+1}$ 的自然连接，建立 $n$-元关系与 KoDAG 之间的双射对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过一种通用代数运算，系统地从二元关系构造多目关系？
• RQ2 所得有向图（KoDAG）具有哪些结构特性？它们与 Ferrers 有向图等已知有向图类之间有何关系？
• RQ3 所有 $n$-元关系是否都能忠实地表示为单一通用 $K$-关系（通过双二分图的自然连接构造）的子关系？
• RQ4 $ oplus\!\to$ 算子在关系代数与有向图及矩阵表示之间起到何种作用？
• RQ5 所得 KoDAG 的 Ferrers 维数如何反映其底层 $n$-元关系的结构？

主要发现

• 所有 $n$-元关系均可表示为 $n$ 个二元关系 $E_k \subseteq \Phi_k \times \Phi_{k+1}$ 的自然连接，即 $E = \oplus\!\to_{k=0}^{n-1} E_k \subset \times_{k=0}^n \Phi_k$，从而证明了该构造的完备性。
• KoDAG 是由双二分图 $ rightarrow{K_{k,k+1}}$ 自然连接生成的 Ferrers 有向图，因此其邻接矩阵满足 Ferrers 条件。
• 蛛网偏序集的哈斯图同构于 KoDAG，且该偏序集是此有向图的传递自反闭包。
• 有向图上的自然连接 $ oplus\!\to$ 运算在关系不相交时对应于其双邻接矩阵的直和，从而推广了矩阵直和的概念。
• 斐波那契蛛网偏序集 $P(D_{ \text{Fib}})$ 是完整蛛网偏序集的子偏序集，其 Ferrers 维数大于一，表明其具有非平凡结构。
• $K$-关系与 $K$-oDAG 中的 $K$ 符号反映了对 $K_{m,n}$ 类型完全二分有向图的使用，以纪念库拉托夫斯基（Kuratowski）并强调完备性。