[论文解读] Cocalibrated G_2-manifolds with Ricci flat characteristic connection

Thomas Friedrich|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文研究了配备度量联络 ∇（具有反对称扭量 T 且 ∇- Ricci 张量为零，即 Ric∇ = 0）的七维共协化 G₂-流形。结果表明，此类流形可作为具有特殊几何结构的四维流形上的纤维丛出现，并通过 ∇-平行向量场对具有最大对称性的流形进行分类，揭示出唯一具有 SU(2) ⊂ G₂ 毛率的紧致例子为 S³×T²×ℝ² 上的平坦度量。

ABSTRACT

Any 7-dimensional cocalibrated G_2-manifold admits a unique connection $ abla$ with skew symmetric torsion. We study these manifolds under the additional condition that the $ abla$-Ricci tensor vanishes. In particular, we describe their geometry in case of a maximal number of $ abla$-parallel vector fields.

研究动机与目标

• 对存在具有反对称扭量且 ∇-Ricci 张量为零的度量联络 ∇ 的七维共协化 G₂-流形进行分类。
• 理解当此类流形拥有最大数量的 ∇-平行向量场时，其几何结构特征。
• 探讨特征联络的 Ricci-平坦 性质与异位弦理论中 Strominger 方程之间的联系。
• 确定在已知的 G₂-毛率情形（T=0）之外，是否存在非平凡解。

提出的方法

• 利用在任一共协化 G₂-流形上唯一存在的具有反对称扭量 T 的度量联络 ∇，该联络由 Levi-Civita 联络与三形式 T 推导得出。
• 应用将 dT、∇T 与由 T 构造的四形式 σT（通过 ∇-平行旋量场 Ψ）联系起来的代数恒等式。
• 施加 Ric∇ = 0 的条件，该条件蕴含 δT = 0，并强制黎曼 Ricci 张量为非负，并由 ||T||² 决定。
• 分析纤维丛 N⁵ → Z⁴，其中 N⁵ 为具有 ∇-平行 1-形式 θ₃ 且 T = π*(Ω²) ∧ η 的五维流形，Ω² 为 Z⁴ 上的闭自对偶 2-形式。
• 运用 Frobenius 定理，证明在特定曲率与可积性条件下，分布 E² 与 (E²)⊥ 为对合的。
• 利用毛率条件 hol(∇) ⊂ su(2) ⊂ g₂，强制存在三个 ∇-平行 2-形式 Ω²₁、Ω²₂、Ω²₃，其中 Ω²₃ 投影为 Z⁴ 上的凯勒形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当其特征联络 ∇ 的 Ricci 曲率消失时，七维共协化 G₂-流形的全局几何结构为何？
• RQ2 哪些此类流形拥有最大数量的 ∇-平行向量场，这对它们的拓扑与毛率意味着什么？
• RQ3 当 T ≠ 0 时，Strominger 方程（即 ∇Ψ = 0，Ric∇ = 0，d*赴 = 0）是否存在非平凡解，它们与 G₂-毛率情形有何不同？
• RQ4 ∇-平行 1-形式 θ₃ 及其相关纤维丛 N⁵ → Z⁴ 对基空间与全空间的几何结构有何约束？
• RQ5 在何种条件下，N⁵×ℝ² 上的联络 ∇ 变为平坦，此时对应的流形为何？

主要发现

• 唯一具有 ∇-毛率在 su(2)⊂g₂ 内且 Ric∇ = 0 的紧致七维流形微分同胚于 S³×T²×ℝ²，且此时联络 ∇ 为平坦。
• 黎曼 Ricci 张量 Ricᵍ 在二维分布 E² 上消失，并在正交补空间 (E²)⊥ 上等于 (μ²/2)·Id，其中 μ 为与扭量形式相关的常数。
• 2-形式 Ω²₃ = (1/μ)(∗T + θ₃⌟T) 为 ∇-平行，闭合（dΩ²₃ = 0），且在基空间 Z⁴ 上投影为自对偶、∇ᵍ-平行的 2-形式。
• 在给定几何约束下，基流形 Z⁴ 被证明微分同胚于 S²×T²（当其为紧致且光滑时）。
• θ₃ 的流保持切丛的分裂结构，并与扭量形式 T 交换，意味着 ∂ₜT = 0。
• 特征联络 ∇ 在 N⁵×ℝ² = S³×T²×ℝ² 上为平坦，确认此为具有最大对称性与 Ric∇ = 0 的唯一紧致例子。