[论文解读] Cocycle and orbit superrigidity for lattices in SL(n,R) acting on homogeneous spaces

Sorin Popa, Stefaan Vaes|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文利用算子代数技巧和齐默关于非奇异作用的 (T) 性质，建立了 $
operatorname{SL}(n,\mathbb{R})$ 的格在 $
mathbb{R}^n$ 及某些旗流形上的余胞和轨道等价性超刚性。关键结果为：当 $n \geq 4$ 时，将轨道等价关系 $
mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$ 限制在勒贝格测度有限的集合上，可得到一个具有 (T) 性质和基本群 $
mathbb{R}_+$ 的 II$_1$ 等价关系，且任何放大 $
mathcal{R}^t$ 均无法由离散群的自由作用实现。

ABSTRACT

We prove cocycle and orbit equivalence superrigidity for lattices in SL(n,R) acting linearly on R^n, as well as acting projectively on certain flag manifolds, including the real projective space. The proof combines operator algebraic techniques with the property (T) in the sense of Zimmer for the action of SL(n,Z) on R^n, n \geq 4. We also show that the restriction of the associated orbit equivalence relation to a subset of finite Lebesgue measure, provides a II_1 equivalence relation with property (T) and yet fundamental group equal to R_+.

研究动机与目标

• 将算子代数方法扩展至 $
  mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 格在齐次空间上的几何作用。
• 对 $\Gamma < \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上的线性与仿射作用，建立 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-余胞超刚性，其中 $n \geq 5$。
• 证明轨道等价关系 $\mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$ 限制在有限测度集上，可得到一个基本群为 $\mathbb{R}_+$ 且具有 (T) 性质的 II$_1$ 等价关系。
• 证明此类关系的任何放大 $
  mathcal{R}^t$ 均无法由离散群的自由作用实现。

提出的方法

• 通过齐默关于非奇异作用的 (T) 性质，将波帕的 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-余胞超刚性框架适配至无限测度空间。
• 利用 $
  mathrm{SL}(n,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{R}^n$ 在 $n \geq 4$ 时具有 (T) 性质，以及在 $n \geq 5$ 时四重对角作用更强的遍历性。
• 为作用 $
  mathrm{SL}(n,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{R}^n$ 构造可测截面，以获得 II$_1$ 等价关系。
• 应用高斯过程构造与 $G$-不变可测映射，证明轨道等价关系之间可测映射的刚性。
• 利用在假设的 (T) 性质与遍历性条件下，任何取值于有限类型波兰群的 $1$-余胞均同调于群同态的事实。
• 利用连通群（如 $
  mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$）到离散群不存在非平凡群同态的事实，强制相关映射为常值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-余胞超刚性扩展至 $
  mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 格的非概率测度保持作用？
• RQ2 对 $
  Gamma < \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$，轨道等价关系 $\mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$ 限制在有限测度子集上的基本群为何？
• RQ3 此类限制关系的任何放大 $
  mathcal{R}^t$ 是否可由离散群的自由作用实现？
• RQ4 轨道等价关系 $
  mathrm{SL}(n,\mathbb{Z}) \curvearrowright \mathbb{R}^n$ 是否存在到其他作用的可测映射，且该映射非本质上常值？
• RQ5 在何种条件下，满足 $\Delta(x) \in \Lambda \cdot \Delta(y)$ 几乎处处成立的可测映射 $\Delta: X_1 \to Y$ 必须通过单个 $\Lambda$-轨道因子化？

主要发现

• 当 $n \geq 4$ 时，将 $\mathcal{R}(\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n)$ 限制在勒贝格测度为 1 的集合上，可得到一个具有 (T) 性质（齐默意义下）的 II$_1$ 等价关系。
• 该 II$_1$ 等价关系的基本群为 $\mathbb{R}_+$，表明其不与任何可数群的轨道等价关系同构。
• 当 $n \geq 5$ 时，线性作用 $\Gamma \curvearrowright \mathbb{R}^n$ 是 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-余胞超刚性的，即所有 $1$-余胞均同调于群同态。
• 当 $n \geq 5$ 时，仿射作用 $\Gamma \ltimes \mathbb{Z}^n \curvearrowright \mathbb{R}^n$ 也是 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-余胞超刚性的。
• 当 $n \geq 4k+1$ 时，群 $G = (\Gamma \times H)/\{\pm(1,1)\}$ 在 $\mathrm{M}_{n,k}(\mathbb{R})$ 上的作用是 $\mathcal{U}_{\text{fin}}$-余胞超刚性的。
• 即使该群具有 (T) 性质，受限轨道等价关系的任何放大 $
  mathcal{R}^t$ 也无法由离散群的自由作用实现。