[论文解读] Cocycle Superrigidity and Group Actions on Stably Finite C*-Algebras

Eusebio Gardella, Martino Lupini|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Operator Algebra Research被引用 1

一句话总结

该论文利用 Popa 在超有限 II$_1$ 因子 $R$ 上的 Bernoulli 移位的协边超刚性定理，证明了对一个可数无限的具有 (T) 性质的群 $\Lambda$，在无限类型的 UHF 代数 $D$ 上存在不可数无穷多个两两非协边共轭的强外作用。关键结果是，此类作用的弱协边共轭类完全保留了其关联的阿贝尔 pro-$p$ 群 $G$ 的结构，该群可通过协边上同调集上的典范配对关系重建。

ABSTRACT

Let $\Lambda $ be a countably infinite property (T) group, and let $D$ be UHF-algebra of infinite type. We prove that there exists a continuum of pairwise non (weakly) cocycle conjugate, strongly outer actions of $\Lambda $ on $D$. The proof consists in assigning, to any second countable abelian pro-$p$ group $G$, a strongly outer action of $\Lambda $ on $D$ whose (weak) cocycle conjugacy class completely remembers the group $G$. The group $G$ is reconstructed from the action via its (weak) 1-cohomology set endowed with a canonical pairing function. The key ingredient in this computation is Popa's cocycle superrigidity theorem for Bernoulli shifts on the hyperfinite II$_{1} $ factor $R$. Our construction also shows the following stronger statement: the relations of conjugacy, cocycle conjugacy, and weak cocycle conjugacy of strongly outer actions of $\Lambda $ on $D$ are complete analytic sets, and in particular not Borel. The same conclusions hold more generally when $\Lambda $ is only assumed to contain an infinite subgroup with relative property (T), and for actions on (not necessarily simple) separable, nuclear, UHF-absorbing, self-absorbing C*-algebras with at least one trace. Finally, we use the techniques of this paper to construct outer actions on $R$ with prescribed cohomology. Precisely, for every infinite property (T) group $\Lambda$, and for every countable abelian group $\Gamma$, we construct an outer action of $\Lambda$ on $R$ whose 1-cohomology is isomorphic to $\Gamma$.

研究动机与目标

• 在无限类型的 UHF 代数 $D$ 上构造不可数无穷多个两两非协边共轭的强外作用，其作用群为具有 (T) 性质的群 $\Lambda$。
• 证明此类作用的弱协边共轭类完全确定了一个关联的第二可数阿贝尔 pro-$p$ 群 $G$。
• 证明此类作用的共轭、协边共轭与弱协边共轭关系为完全解析集，因此不是 Borel 集。
• 将结果推广至满足相对 (T) 性质的可分、核型、UHF 吸收性、自吸收性 C*-代数（至少含一个迹）。
• 在超有限 II$_1$ 因子 $R$ 上构造外作用，使其 1-上同调同构于任一给定的可数阿贝尔群 $\Gamma$。

提出的方法

• 通过受 Popa 在 $R$ 上的 Bernoulli 移位协边超刚性定理启发的构造，为每个第二可数阿贝尔 pro-$p$ 群 $G$ 赋予 $\Lambda$ 在 $D$ 上的一个强外作用。
• 利用作用的 1-上同调集上的典范配对关系，从弱协边共轭类中重建群 $G$。
• 将 Popa 的 Bernoulli 移位协边超刚性定理作为关键技术工具，以确保上同调结构的刚性。
• 运用算子代数与群上同调的技术，证明共轭与协边共轭关系为完全解析集。
• 将构造推广至满足核型、UHF 吸收性与自吸收性等性质的更一般的 C*-代数。
• 通过受控协边形变实现上同调数据，构造 $R$ 上的外作用，使其 1-上同调为任意给定的可数阿贝尔群。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无限类型的 UHF 代数 $D$ 上，对一个具有 (T) 性质的群 $\Lambda$ 构造出不可数无穷多个两两非协边共轭的强外作用？
• RQ2 此类作用的弱协边共轭类在多大程度上编码了其关联的阿贝尔 pro-$p$ 群 $G$ 的结构？
• RQ3 对于 $D$ 上的强外作用，共轭、协边共轭与弱协边共轭关系是否为 Borel 可测，或具有更复杂的结构？
• RQ4 能否实现外作用在超有限 II$_1$ 因子 $R$ 上的 1-上同调为任一给定的可数阿贝尔群 $\Gamma$？
• RQ5 相对 (T) 子群如何影响在稳定有限 C*-代数上作用的刚性？

主要发现

• 存在不可数无穷多个两两非（弱）协边共轭的强外作用，作用于 $D$，即无限类型的 UHF 代数。
• 每个此类作用的弱协边共轭类完全保留了其构造中所用的第二可数阿贝尔 pro-$p$ 群 $G$ 的结构。
• 作用的 1-上同调集配备典范配对后，可从作用的上同调数据中完全重构群 $G$。
• 此类作用的共轭、协边共轭与弱协边共轭关系为完全解析集，因此不是 Borel 集。
• 当 $\Lambda$ 具有无限子群具有相对 (T) 性质时，结果可推广至可分、核型、UHF 吸收性、自吸收性 C*-代数（至少含一个迹）。
• 对每个无限 (T) 群 $\Lambda$ 及每个可数阿贝尔群 $\Gamma$，存在 $R$ 上的一个外作用，其 1-上同调同构于 $\Gamma$。