[论文解读] Codegree conditions for tiling complete $k$-partite $k$-graphs and loose cycles

Wei Gao, Jie Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文改进了在 $k$-均匀超图中对完全 $k$$-部 $k$-图及广义圈的代码度条件，通过基于格的超图构造构建反例，证明了 Mycroft 关于有界误差项的猜想对许多此类图均不成立。本文确定了 $K^{(k)}(1,\dots,1,2)$ 和广义圈的渐近紧致代码度阈值，解决了这些情形下的精确阈值问题。

ABSTRACT

Given two $k$-graphs ($k$-uniform hypergraphs) $F$ and $H$, a perfect $F$-tiling (or an $F$-factor) in $H$ is a set of vertex disjoint copies of $F$ that together cover the vertex set of $H$. For all complete $k$-partite $k$-graphs $K$, Mycroft proved a minimum codegree condition that guarantees a $K$-factor in an $n$-vertex $k$-graph, which is tight up to an error term $o(n)$. In this paper we improve the error term in Mycroft's result to a sub-linear term that relates to the Turán number of $K$ when the differences of the sizes of the vertex classes of $K$ are co-prime. Furthermore, we find a construction which shows that our improved codegree condition is asymptotically tight in infinitely many cases thus disproving a conjecture of Mycroft. At last, we determine exact minimum codegree conditions for tiling $K^{(k)}(1, \dots, 1, 2)$ and tiling loose cycles thus generalizing results of Czygrinow, DeBiasio, and Nagle, and of Czygrinow, respectively.

研究动机与目标

• 将 Mycroft 在 $k$-图中关于完美 $F$-铺砌的代码度条件中的误差项从 $o(n)$ 改进为与图的 Turán 数相关的次线性项，当 $F$ 的顶点类大小差异互素时。
• 推翻 Mycroft 的猜想，即代码度阈值中的误差项可被仅依赖于 $F$ 的绝对常数所界定。
• 确定 $k$-图中 $K^{(k)}(1,\dots,1,2)$ 和广义圈铺砌的精确最小代码度阈值。
• 构造满足 Mycroft 代码度条件但不包含 $F$-因子的超图，从而证明新边界的紧致性。

提出的方法

• 通过构造一个子图 $G$，满足 $δ_{k-1}(G) = (1-o(1))\sqrt{n}$ 且不含 $K^{(k)}(1,\dots,1,2,2)$，从而建立广义的空间屏障，强于经典空间屏障。
• 将此 $G$ 与基于格的 $k$-图 $H_p$ 结合，其中 $H_p$ 定义在划分 $V_1,\dots,V_p$ 上，且边对应于子格 $L \subset \mathbb{Z}_p^p$ 中的指标向量。
• 利用如下性质：对任意向量 $\mathbf{v} \in \mathbb{Z}_p^p$，恰好存在一个平移 $\mathbf{v} + \mathbf{u}_i$ 属于 $L$，从而阻止组合图中出现混合部图的 $K$ 复本。
• 证明在最终图 $H$ 中，任何 $K$ 的复本必须完全包含于某个 $V_i$ 内，因此继承 $H_p$ 的代码度下界，但因 $H_p$ 的设计而避免出现 $K$-因子。
• 应用抽屉原理：若 $K$ 的某一部分与多个 $V_i$ 相交，则必出现 $K^{(k)}(1,\dots,1,2,2)$ 子图，与 $G$ 的无此子图性质矛盾。
• 利用 $H_p$ 的结构与 $G$ 的无此子图性质，证明即使 $\delta_{k-1}(H) \geq n/p + (1-o(1))\sqrt{n}/p$，$H$ 中也不存在 $K$-因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $F$ 的顶点类大小差异互素时，能否将 Mycroft 在 $k$-图中关于 $F$-铺砌的代码度条件中的误差项从 $o(n)$ 改进为次线性项？
• RQ2 Mycroft 的猜想是否成立，即代码度阈值中的误差项可被仅依赖于 $F$ 的绝对常数所界定？
• RQ3 在 $k$-图中，$K^{(k)}(1,\dots,1,2)$ 铺砌的精确最小代码度阈值是多少？
• RQ4 在 $k$-图中，广义圈铺砌的精确最小代码度阈值是多少？
• RQ5 能否使用基于格的构造生成具有高代码度但不含 $F$-因子的超图，从而推翻所猜想的阈值？

主要发现

• 当部分大小差异互素时，$K^{(k)}(a_1,\dots,a_k)$-铺砌的 Mycroft 代码度条件中的误差项从 $o(n)$ 改进为 $O(\sqrt{n})$。
• 构造出一个代码度 $\delta_{k-1}(G) = (1-o(1))\sqrt{n}$ 且不含 $K^{(k)}(1,\dots,1,2,2)$ 的 $k$-图，提供了强于经典空间屏障的更强空间屏障。
• 对于 $K^{(k)}(1,\dots,1,2)$，精确的最小代码度阈值被确定为 $\left(\frac{1}{k} + o(1)\right)n$，与 Mycroft 结果的渐近界一致。
• 本文通过证明：对类型 $d \neq 1$ 且满足 $a_{k-2} \geq p+1$（其中 $p$ 为 $d$ 的最小素因子）的 $K^{(k)}(a_1,\dots,a_k)$，误差项无法被常数有界，从而推翻了 Mycroft 的猜想。
• 组合超图 $H = H_p \cup G$ 满足 $\delta_{k-1}(H) \geq n/p + (1-o(1))\sqrt{n}/p$ 但不包含 $K$-因子，证明了该阈值的渐近紧致性。
• 对于广义圈，精确的最小代码度阈值被确定为 $\left(\frac{1}{k} + o(1)\right)n$，推广了关于 $C_2^3$ 的先前结果。