[论文解读] Codes Associated with $O^+(2n,2^r)$ and Power Moments of Kloosterman Sums

Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文为 $q = 2^r$ 构造了与正交群 $SO^+(2,q)$、$O^+(2,q)$ 和 $SO^+(4,q)$ 相关的三个二元线性码，并利用 Pless 幂矩恒等式与高斯和表达式，推导出 Kloosterman 和及二维 Kloosterman 和的幂矩的递归公式。该方法相较于基于 $SL(2,q)$ 的先前构造具有更高的计算效率，具体实例证明了其有效性。

ABSTRACT

In this paper, we construct three binary linear codes $C(SO^+(2,q))$, $C(O^+(2,q))$, $C(SO^+(4,q))$, respectively associated with the orthogonal groups $SO^+(2,q)$, $O^+(2,q)$, $SO^+(4,q)$, with $q$ powers of two. Then we obtain recursive formulas for the power moments of Kloosterman and 2-dimensional Kloosterman sums in terms of the frequencies of weights in the codes. This is done via Pless power moment identity and by utilizing the explicit expressions of Gauss sums for the orthogonal groups. We emphasize that, when the recursive formulas for the power moments of Kloosterman sums are compared, the present one is computationally more effective than the previous one constructed from the special linear group $SL(2,q)$. We illustrate our results with some examples.

研究动机与目标

• 为 $q = 2^r$ 构造与正交群 $SO^+(2,q)$、$O^+(2,q)$ 和 $SO^+(4,q)$ 相关的二元线性码。
• 利用这些码推导出 Kloosterman 和及二维 Kloosterman 和的幂矩的递归公式。
• 与基于 $SL(2,q)$ 的先前方法相比，提高计算幂矩的效率。
• 利用正交群的显式高斯和表达式，实现精确的矩计算。
• 通过具体实例展示所提方法的有效性。

提出的方法

• 分别从正交群 $SO^+(2,q)$、$O^+(2,q)$ 和 $SO^+(4,q)$ 构造三个二元线性码 $C(SO^+(2,q))$、$C(O^+(2,q))$ 和 $C(SO^+(4,q))$。
• 应用 Pless 幂矩恒等式，将 Kloosterman 和的幂矩与所构造码的权重分布联系起来。
• 利用正交群的显式高斯和表达式计算所需的矩。
• 基于码中权重的频率，推导出 Kloosterman 和及二维 Kloosterman 和的幂矩的递归公式。
• 将新方法的计算效率与基于 $SL(2,q)$ 的先前方法进行比较，表明其性能更优。
• 通过数值实例说明结果，以验证递归公式的正确性及其实际应用价值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为 $q = 2^r$ 构造与正交群 $SO^+(2,q)$、$O^+(2,q)$ 和 $SO^+(4,q)$ 相关的二元线性码？
• RQ2 如何利用这些码推导出 Kloosterman 和及二维 Kloosterman 和的幂矩的递归公式？
• RQ3 与基于 $SL(2,q)$ 的先前构造相比，新方法的计算效率如何？
• RQ4 正交群的显式高斯和表达式在实现这些矩计算中起到什么作用？
• RQ5 码的权重分布如何影响所推导的矩公式？

主要发现

• 该论文成功地为 $q = 2^r$ 从正交群 $SO^+(2,q)$、$O^+(2,q)$ 和 $SO^+(4,q)$ 构造了三个二元线性码。
• 利用 Pless 幂矩恒等式与码的权重分布，推导出 Kloosterman 和及二维 Kloosterman 和的幂矩的递归公式。
• 基于正交群的方法相较于先前使用 $SL(2,q)$ 的构造具有更高的计算效率。
• 正交群的显式高斯和表达式在推导递归公式中起着关键作用。
• 通过具示范例验证了结果，展示了所推导公式的实用性和准确性。
• 该框架为计算指数和的幂矩提供了一条新途径，相较于现有的群论构造方法，效率更高。