[论文解读] Codes over integers, and the singularity of random matrices with large entries

Sankeerth Rao Karingula, Shachar Lovett|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Cooperative Communication and Network Coding被引用 2

一句话总结

本文提出了一种在整数上构造最大距离可分（MDS）码的新框架，证明了通过使用固定大小的字母表，可以在整数上实现具有线性速率和线性距离的MDS码——这与有限域情形下需要线性增长的域大小形成鲜明对比。核心技术贡献是一项新界，表明从 $ \{-m, \ldots, m\} $ 中独立同分布选取 entries 的 $ n \times n $ 随机矩阵的奇异概率至多为 $ m^{-cn} $，其中 $ c > 0 $ 为某绝对常数，从而为码构造建立了关键的概率基础。

ABSTRACT

The prototypical construction of error correcting codes is based on linear codes over finite fields. In this work, we make first steps in the study of codes defined over integers. We focus on Maximum Distance Separable (MDS) codes, and show that MDS codes with linear rate and distance can be realized over the integers with a constant alphabet size. This is in contrast to the situation over finite fields, where a linear size finite field is needed. The core of this paper is a new result on the singularity probability of random matrices. We show that for a random $n imes n$ matrix with entries chosen independently from the range $\{-m,\ldots,m\}$, the probability that it is singular is at most $m^{-cn}$ for some absolute constant $c>0$.

研究动机与目标

• 探索在整数上构造MDS码的可行性，该设定与经典的基于有限域的编码理论存在根本性差异。
• 确定是否可以在整数上使用固定大小的字母表实现具有线性速率和线性距离的MDS码，而无需随码长增长而增加域大小，这与有限域情形形成对比。
• 通过分析大整数矩阵的奇异行为，建立码构造的概率基础。

提出的方法

• 在整数环上定义MDS码，重点关注具有整数系数和固定字母表大小的线性码。
• 使用概率方法分析一个 $ n \times n $ 随机矩阵（其元素取自 $ \{-m, \ldots, m\} $）为奇异矩阵的概率。
• 利用随机矩阵理论和组合学工具，建立奇异概率的非平凡上界，证明其衰减为 $ m^{-cn} $，其中 $ c > 0 $ 为某绝对常数。
• 利用奇异概率上界，证明在 $ \mathbb{Z} $ 上存在合适的生成矩阵，从而实现具有所需速率和距离的MDS码的构造。
• 通过集中与反集中技术，建立此类码的存在性与大随机整数矩阵非奇异性的类比关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在整数上使用固定大小的字母表构造具有线性速率和线性距离的MDS码，而无需随码长增长而增加域大小？
• RQ2 一个 $ n \times n $ 随机矩阵（其 i.i.d. 元素在 $ \{-m, \ldots, m\} $ 上均匀选取）为奇异矩阵的概率是多少？该概率如何随 $ m $ 和 $ n $ 变化？
• RQ3 大随机整数矩阵的奇异概率与有限域上随机矩阵的奇异概率相比如何？这对环上编码理论有何启示？
• RQ4 该奇异概率上界能否用于保证在 $ \mathbb{Z} $ 上MDS码的满秩生成矩阵的存在性？
• RQ5 整数矩阵的何种结构性质使得能够构造出具有最优参数的MDS码？

主要发现

• 可在整数上使用固定大小的字母表构造具有线性速率和线性距离的MDS码，这与有限域情形下域大小必须随码长线性增长的情况形成显著差异。
• 从 $ \{-m, \ldots, m\} $ 中独立同分布选取 entries 的 $ n \times n $ 随机矩阵的奇异概率至多为 $ m^{-cn} $，其中 $ c > 0 $ 为某绝对常数，且该界与 $ n $ 无关。
• 该界意味着当 $ m $ 相对于 $ n $ 足够大时，此类矩阵以高概率为非奇异，从而可实现满秩生成矩阵的构造。
• 该结果在环上编码理论与大随机整数矩阵奇异性的研究之间建立了全新联系。
• 在 $ \mathbb{Z} $ 上存在此类码的事实，得到了构造过程中遇到奇异矩阵的概率在 $ n $ 上呈指数级小的支撑，从而确保了高可靠性。
• 该技术贡献为矩阵非奇异性的存在性提供了定量保证，从而支撑了码构造的可行性。