[论文解读] Codimension one foliations with numerically trivial canonical class on singular spaces

Stéphane Druel|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 10

一句话总结

本论文通过分类在具有终端或典范奇点的正常射影代数簇上具有数值平凡典范类的余维一叶状结构，将叶状化的 Beauville-Bogomolov 分解推广至奇异代数簇。利用准平展覆盖与弱正则叶状结构理论，证明此类叶状结构在温和条件下要么是来自阿贝尔簇上的线性叶状结构，要么是具有平坦联络的 $\mathbb{P}^1$-丛，要么是交换代数群的等变紧化，且 $K_{\mathcal{F}}$ 为挠类。

ABSTRACT

In this article, we describe the structure of codimension one foliations with canonical singularities and numerically trivial canonical class on varieties with terminal singularities, extending a result of Loray, Pereira and Touzet to this context.

研究动机与目标

• 将具有数值平凡典范类的余维一叶状结构在具有终端或典范奇点的奇异代数簇上的分类结果进行推广。
• 将 Touzet 以及 Loray-Pereira-Touzet 的叶状化 Beauville-Bogomolov 定理推广至奇异情形。
• 在典范或终端奇点条件下，建立典范类的代数可积性与挠性。
• 通过准平展覆盖与等变紧化，描述弱正则叶状结构 $K_{\mathcal{F}} \equiv 0$ 的整体结构。

提出的方法

• 利用准平展覆盖在保持典范类的前提下解析奇点，将问题约化至 $K_{\mathcal{F}} \sim_{\mathbb{Z}} 0$ 的情形。
• 应用叶状结构的典范奇点理论，并利用此类覆盖下叶状结构的典范提升的存在性。
• 采用弱正则叶状结构的概念，并研究其在拉回与解析下的行为。
• 分析两种主要情形：对几乎所有素数 $p$，叶状结构在 $p$-次幂下封闭；或由具有平坦线丛系数的闭有理 1-形式定义。
• 利用数值维数 $\nu(X)$ 区分结构情形：$\nu(X) = -\infty$，$1$，或 $0$，每种情形导致不同的几何结果。
• 应用全局 Reeb 稳定性与代数可积性定理，推导出最终分解为类似乘积的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有终端奇点的代数簇上，具有数值平凡典范类的余维一叶状结构具有何种结构？
• RQ2 叶状化 Beauville-Bogomolov 分解如何推广至具有典范或终端奇点的奇异空间？
• RQ3 在何种条件下，此类叶状结构的典范类 $K_{\mathcal{F}}$ 为挠类？
• RQ4 弱正则叶状结构满足 $K_{\mathcal{F}} \equiv 0$ 时，能否通过准平展覆盖分解为标准几何模型？
• RQ5 交换代数群的等变紧化在分类中起何种作用？

主要发现

• 在具有典范奇点的代数簇上，若叶状结构具有典范奇点且 $K_{\mathcal{F}} \sim_{\mathbb{Q}} 0$，则其要么是来自阿贝尔簇上线性叶状结构的拉回，要么是来自维数至少为 2 的交换代数群的等变紧化的叶状结构的拉回。
• 若 $X$ 具有终端奇点或 $K_{\mathcal{F}}$ 为 Cartier，则 $K_{\mathcal{F}}$ 为挠类，将丰沛猜想推广至此类叶状结构情形。
• 当 $\nu(X) = -\infty$ 或 $\nu(X) = 1$ 时，叶状结构为代数可积，通过准平展覆盖实现乘积结构。
• 在 $\nu(X) = 0$ 的情形，叶状结构来自取值于平坦线丛的闭有理 1-形式，其结构由该形式零点集的几何决定。
• 对于满足 $K_{\mathcal{F}} \equiv 0$ 的弱正则叶状结构，其结构为具有平坦联络的 $\mathbb{P}^1$-丛、来自阿贝尔簇的拉回，或通过准平展覆盖从曲线拉回的结构。
• 证明依赖于通过准平展覆盖解析奇点，并分析叶状结构在拉回下的行为，尤其在对数结构与例外除子不变性背景下。