[论文解读] Codimension one subgroups and boundaries of hyperbolic groups

Thomas Delzant, Panos Papasoglu|ArXiv.org|Jul 18, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文构造了具有任意高维边界且被康托集（维数为0）分隔的双曲群，但这些群在任何子群上均不可分裂，从而表明Bowditch关于在2-端群上分裂的定理无法推广到更复杂的子群。该构造基于自由积上的小扩张理论，通过特定关系将无扭、具有性质(T)且边界维数较高的双曲群嵌入新群中，确保存在余维数一子群但无非平凡分裂发生。

ABSTRACT

We construct hyperbolic groups with the following properties: The boundary of the group has big dimension, it is separated by a Cantor set and the group does not split. This shows that Bowditch's theorem that characterizes splittings of hyperbolic groups over 2-ended groups in terms of the boundary can not be extended to splittings over more complicated subgroups.

研究动机与目标

• 挑战Bowditch关于在2-端群上分裂的定理向更复杂子群推广的可能性。
• 构造边界具有任意高拓扑维数的双曲群。
• 表明此类群可被康托集（维数为0）分隔，但无法在任何子群上分裂。
• 证明在双曲群中，余维数一子群的存在并不意味着存在非平凡分裂，尤其在2-端情形之外。
• 回答[10]中关于非分裂群中粗分离与渐近维数的问题。

提出的方法

• 选取一个无扭、单端、具有性质(T)且满足dim(∂A) ≥ n的双曲群A，例如Sp(n,1)中的格。
• 取A的第二个副本B，并构造自由积A*B。
• 对所有i,j应用小扩张关系r_{i,j} = (a_i b_j)(a_i b_j^2)(a_i b_j^3)(a_i b_j^4)，以定义商群G。
• 通过自由积上Wise小扩张理论的推广版本，证明所得群G具有自由余维数一子群H。
• 使用自由积上的van-Kampen图，并应用组合引理（如Greendlinger型不等式）控制面积增长，证明线性等周不等式。
• 通过证明其满足线性等周不等式（利用图面积界和顶点度估计），确立G的双曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 双曲群是否可以具有高维边界，且被零维集合（康托集）粗略分隔，但不发生分裂？
• RQ2 在2-端情形之外，余维数一子群的存在是否意味着双曲群存在非平凡分裂？
• RQ3 Bowditch基于边界划分的分裂定理能否推广至比2-端群更复杂的子群？
• RQ4 能否构造一个边界维数可任意高的双曲群，同时仍具有性质FA（无非平凡分裂）？
• RQ5 一个群是否可以具有渐近维数为1的均匀嵌入子集，粗略分隔该群，但无法在任何子群上分裂？

主要发现

• 对任意n > 0，存在一个单端双曲群G，满足dim(∂G) ≥ n。
• 边界∂G被康托集（零维集合）分隔，表明存在非平凡的拓扑分离。
• 尽管边界中存在余维数一子群和分隔康托集，群G仍具有性质FA，且无法在任何子群上分裂。
• 群G被构造为A*B的小扩张商群，其中A和B为无扭双曲群，具有性质(T)且满足dim(∂A) ≥ n。
• 该构造确保G满足线性等周不等式，从而确认其双曲性。
• 该例子回答了[10]中的一个问题：存在一个有限生成群，满足asdim G > n，被一个渐近维数为1的均匀嵌入集合粗略分隔，且无非平凡分裂。