[论文解读] Codimension Two Determinantal Varieties with Isolated Singularities

Miriam da Silva Pereira, María Aparecida Soares Ruas|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究了具有孤立奇点的余维二行列式簇，引入了一个 L\'e-Greuel 公式，该公式通过第二极性重数与一般截面的 Milnor 数，计算 C^4 中此类曲面的 Milnor 数。此外，该不变量与由一般线性投影导出的 1-形式的 Ebeling-Gusein-Zade 指数相关联，为简单行列式曲面奇点的规范型提供了计算框架。

ABSTRACT

We study codimension two determinantal varieties with isolated singularities. These singularities admit a unique smoothing, thus we can define their Milnor number as the middle Betti number of their generic fiber. For surfaces in C^4, we obtain a L\^e-Greuel formula expressing the Milnor number of the surface in terms of the second polar multiplicity and the Milnor number of a generic section. We also relate the Milnor number with Ebeling and Gusein-Zade index of the 1- form given by the differential of a generic linear projection defined on the surface. To illustrate the results, in the last section we compute the Milnor number of some normal forms from A. Fr\uhbis-Kr\uger and A. Neumer [2] list of simple determinantal surface singularities.

研究动机与目标

• 定义并计算具有孤立奇点的余维二行列式簇的 Milnor 数。
• 建立一个 L\'e-Greuel 型公式，将 Milnor 数用几何不变量（如第二极性重数和一般截面的 Milnor 数）表示。
• 将 Milnor 数与由曲面上一般线性投影诱导的 1-形式的 Ebeling-Gusein-Zade 指数联系起来。
• 将理论结果应用于计算已知的简单行列式曲面奇点规范型的 Milnor 数。

提出的方法

• 作者利用余维二行列式簇中孤立奇点具有唯一光滑化这一事实，将 Milnor 数定义为一般纤维的中间贝蒂数。
• 应用 L\'e-Greuel 公式，将曲面的 Milnor 数与第二极性重数及一般超平面截面的 Milnor 数联系起来。
• 该方法涉及分析限制在曲面上的一般线性投影的微分，从而得到一个 1-形式，其 Ebeling-Gusein-Zade 指数被计算出来。
• 使用奇点理论中的理论工具，包括极性重数和拓扑不变量，推导出主要公式。
• 该方法被应用于 Fr\ubar{u}hbis-Kr\ubar{u}ger 和 Neumer 对简单行列式曲面奇点的分类中的规范型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用几何不变量计算具有孤立奇点的余维二行列式曲面的 Milnor 数？
• RQ2 曲面的 Milnor 数与第二极性重数之间的确切关系是什么？
• RQ3 Milnor 数如何与由一般线性投影微分诱导的 1-形式的 Ebeling-Gusein-Zade 指数相关联？
• RQ4 该理论公式能否有效应用于计算已知的简单行列式曲面奇点规范型的 Milnor 数？

主要发现

• 由于此类奇点具有唯一光滑化，具有孤立奇点的余维二行列式曲面的 Milnor 数被定义为一般纤维的中间贝蒂数。
• 建立了 L\'e-Greuel 公式，将 Milnor 数表示为第二极性重数和曲面一般截面的 Milnor 数的函数。
• 证明了 Milnor 数等于由一般线性投影微分在曲面上诱导的 1-形式的 Ebeling-Gusein-Zade 指数。
• 理论框架成功应用于计算 Fr\ubar{u}hbis-Kr\ubar{u}ger 和 Neumer 列表中若干规范型的 Milnor 数。