[论文解读] Codimension two holomorphic foliations

Dominique Cerveau, Alcides Lins Neto|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究复流形上的余维二全纯叶状结构与分布，重点关注其局部与整体性质。证明了余维二分布的完全交的稳定性，并展示了存在不包含于任何余维一叶状结构中的叶状结构。一个关键结果是：在 $\mathbb{C}^4$ 上，定义余维二叶状结构的齐次2-形式若在原点有孤立奇点，则不可能存在——此类奇点集必须包含一条直线，意味着其维数至少为一。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of codimension two holomorphic foliations and distributions. We prove the stability of complete intersection of codimension two distributions and foliations in the local case. Converserly we show the existence of codimension two foliations which are not contained in any codimension one foliation. We study problems related to the singular locus and we classify homogeneous foliations of small degree.

研究动机与目标

• 理解复流形上余维二全息叶状结构与分布的局部与整体结构。
• 研究余维二叶状结构是否可被包含于余维一叶状结构中。
• 分析余维二叶状结构中奇点集的性质，特别是 $\mathbb{C}^4$ 上齐次2-形式的情形。
• 对小次数的齐次余维二叶状结构进行分类，尤其是次数为零、一和二的情形。
• 确定由齐次2-形式定义的余维二叶状结构在原点具有孤立奇点的条件。

提出的方法

• 通过局部可分解且满足Frobenius可积性条件的全息 $q$-形式 $\eta$ 进行局部定义。
• 应用Malgrange的奇异Frobenius定理，建立完全交构造中首次积分的保持性。
• 通过可积1-形式的楔积构造余维二叶状结构为余维一叶状结构的交集。
• 利用对称性与Lie导数下向量场的不变性，分析 $\mathbb{C}^4$ 上的齐次2-形式，以对可能的奇点集进行分类。
• 通过坐标变换与拉回操作将问题约化为低维形式，证明存在某个 $\Phi$ 使得 $\eta = \Phi^*(\widetilde{\eta})$。
• 利用非共振条件与积分因子，将向量场线性化，并在一般情形下证明其全局线性化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^4$ 上的余维二全息叶状结构是否可在原点具有孤立奇点？
• RQ2 每个余维二叶状结构是否在局部上可构造为余维一分布的完全交？
• RQ3 是否存在不包含于任何余维一叶状结构中的余维二叶状结构？
• RQ4 在 $\mathbb{C}^4$ 上，由齐次2-形式定义的余维二叶状结构的奇点集具有何种结构？
• RQ5 如何对小次数的齐次余维二叶状结构进行分类？

主要发现

• 由齐次2-形式在 $\mathbb{C}^4$ 上定义的余维二叶状结构若在原点有奇点，则其奇点集不可能是孤立的；奇点集必须包含一个正维数的分支。
• 此类叶状结构的奇点集总是至少包含一条复直线，因此 $\dim \operatorname{Sing}(\eta) \geq 1$。
• 在定义形式满足自然非退化条件的前提下，余维二叶状结构作为余维一分布的完全交，在小形变下是稳定的。
• 存在不包含于任何余维一叶状结构中的余维二叶状结构，即使在局部或有理流形上亦然。
• 对次数为零、一和二的齐次余维二叶状结构的分类，对应于此类叶状结构空间的不可约分支的分解。
• 在一般情形下，若线性部分为非共振，则相应向量场可通过二次坐标变换实现全局线性化，从而表明存在全局积分因子。