[论文解读] Coding Methods in Computability Theory and Complexity Theory

André Nies|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文运用可计算性与复杂性理论中的编码方法，建立关键结构（如递归可枚举图灵度、一化度、弱图灵度，以及递归可枚举集合的包含格）的不可判定性与可解释性结果。文中引入可定义性引理，实现真算术的参数化可解释性，证明这些结构可统一编码完整的算术理论，并表明在跳跃类上的自同构作用受到限制。

ABSTRACT

A major part of computability theory focuses on the analysis of a few structures of central importance. As a tool, the method of coding with first-order formulas has been applied with great success. For instance, in the c.e. Turing degrees, it has been used to determine the complexity of the elementary theory, to provide restrictions on automorphisms, and even to obtain definability results (work of Harrington, Nies, Shore, Slaman, and others). We describe how a similar program can be carried out for several other structures, including the structure of c.e. many one degrees, the structure of c.e. weak truth table degrees and the lattice of c.e. sets under inclusion. In all cases we will obtain undecidability of, or even an interpretation of true arithmetic in the theory of the structure. For the c.e. many one-degrees, we also obtain definability results and restrictions on automorphisms. This work appeared first as the author's habilitation thesis at the Universitaet Heidelberg, 1998.

研究动机与目标

• 使用模型论工具统一并推广可计算性与复杂性结构中的编码技术。
• 研究递归可枚举度结构（包括 $ρ_T$, $ρ_m$, $ρ_{wtt}$，以及递归可枚举集合的格 $Ω$）的理论逻辑复杂度。
• 建立可定义性引理，将算术可定义性转移至这些结构中的参数化可定义性。
• 证明完整真算术理论可在若干度结构的理论中可解释，从而表明其不可判定性。
• 分析无参数编码的限制，特别是在递归可枚举集合的格中，无限线性序无法无参数编码。

提出的方法

• 通过可计算映射的的一阶编码，将完整算术理论 ($\mathrm{Th}(\mathbb{N},+,×)$) 解释到度结构的理论中。
• 引入“可定义性引理”作为核心工具，将算术可定义性提升为 $\mathcal{R}_m$ 和 $\mathcal{E}$ 等结构中的参数化可定义性。
• 使用带预言机计算和使用有界的递归构造，将递归图与数论关系编码进度结构中。
• 应用递归定理构造满足编码正确性条件的自指集合，确保其在预言机查询下保持稳定。
• 结合哈灵顿-谢拉风格的编码与代数方法，分析理论片段，特别是 $\forall\exists\forall$-句子。
• 利用递归可枚举布尔代数 $\mathcal{B}$ 的理想格 $\mathcal{I}(\mathcal{B})$ 作为中介，将不可判定性传递到其他结构，包括复杂性理论中的度结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在递归可枚举图灵度 $\mathcal{R}_T$ 的理论中解释完整真算术理论？
• RQ2 在 $\mathcal{R}_m$, $\mathcal{R}_{wtt}$ 和 $\mathcal{E}$ 中，无参数地编码自然数结构 $\mathbb{N}$ 的程度如何？
• RQ3 在递归可枚举集合的格 $\mathcal{E}$（按包含关系）中，编码与可定义性的限制是什么？
• RQ4 可定义性引理如何实现算术性质向度结构中可定义类的转移？
• RQ5 编码方法对 $\mathcal{R}_T$, $\mathcal{R}_m$ 和 $\mathcal{R}_{wtt}$ 的自同构施加了何种限制？

主要发现

• 理论 $\mathrm{Th}(\mathcal{R}_T)$ 是不可判定的，并通过可计算映射的多对一归约，解释了完整真算术理论 $\mathrm{Th}(\mathbb{N},+,×)$。
• 在 $\mathcal{R}_T$ 中存在无参数的 $\mathbb{N}$ 编码，表明该结构可无外部参数定义算术。
• 对于 $\mathcal{R}_m$ 和 $\mathcal{R}_{wtt}$，本文构造了 $\mathbb{N}$ 的无参数编码，并证明其理论的 $\forall\exists\forall$-片段是不可判定的。
• 在 $\mathcal{E}$ 中，无法无参数编码任何无限线性序，且理论 $\mathrm{Th}(\mathcal{E})$ 是不可判定的，已建立 $\mathrm{Th}(\mathbb{N})$ 的完整可解释性。
• 递归可枚举布尔代数 $\mathcal{B}$ 的理想格 $\mathcal{I}(\mathcal{B})$ 的理论被证明是不可判定的，且可被用于编码到其他结构中。
• 在 $\mathcal{R}_T$ 中，自同构无法改变任何度的第二次跳跃，且 $\mathrm{Low}_2$ 与 $\mathrm{High}_1$ 类别可通过编码框架定义。