[论文解读] Coding Theorems for Repeat Multiple Accumulate Codes

Jörg Kliewer, Kamil Sh. Zigangirov+2 more|ArXiv.org|Oct 19, 2008

Error Correcting Code Techniques参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文使用均匀交织器方法分析了重复-多重积累（RMA）码的渐近最小距离增长。证明了对于速率 ≤1/3 的情况，具有两个或更多积累器的 RMA 码可实现渐近线性最小距离增长，趋近于 Gilbert-Varshamov 界；通过随机打孔，即使高码率码也能实现接近最优的最小距离增长。

ABSTRACT

In this paper the ensemble of codes formed by a serial concatenation of a repetition code with multiple accumulators connected through random interleavers is considered. Based on finite length weight enumerators for these codes, asymptotic expressions for the minimum distance and an arbitrary number of accumulators larger than one are derived using the uniform interleaver approach. In accordance with earlier results in the literature, it is first shown that the minimum distance of repeat-accumulate codes can grow, at best, sublinearly with block length. Then, for repeat-accumulate-accumulate codes and rates of 1/3 or less, it is proved that these codes exhibit asymptotically linear distance growth with block length, where the gap to the Gilbert-Varshamov bound can be made vanishingly small by increasing the number of accumulators beyond two. In order to address larger rates, random puncturing of a low-rate mother code is introduced. It is shown that in this case the resulting ensemble of repeat-accumulate-accumulate codes asymptotically achieves linear distance growth close to the Gilbert-Varshamov bound. This holds even for very high rate codes.

研究动机与目标

• 表征具有有限个积累器的重复-多重积累（RMA）码的渐近最小距离行为。
• 确定 RMA 码是否能在块长度上实现渐近线性最小距离增长。
• 研究通过增加积累器数量或使用随机打孔，能否最小化与 Gilbert-Varshamov 界的差距。
• 将先前针对有限长度的分析扩展至渐近域，为最小距离增长速率系数提供严格的解析表达式。

提出的方法

• 使用均匀交织器方法对所有可能的交织器取平均，从而实现对集合重量谱的渐近分析。
• 推导 RMA 码的有限长度重量枚举函数，并利用 Stirling 公式和熵函数进行渐近近似。
• 基于最小距离及其分量之间的相对大小，分析四种不同的重量分布情况，使用概率界限。
• 采用基于熵的表达式和对数近似，评估低重量码字的期望数量，证明在特定条件下其收敛于零。
• 在最后一个积累器输出处引入随机打孔，以在保持良好距离特性的同时实现高码率码的构造。
• 使用函数 $ F_ ho(eta) = \beta\bar{H}(2) + H\big(\frac{\rho - \beta/2}{1 - \beta}\big)(1 - \beta) - H(\rho) $ 分析低重量码字的衰减速率，并证明其期望值渐近趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于码率 $ R \to 1/3 $ 或更低的重复-积累-积累（RAA）码，能否实现渐近线性最小距离增长？
• RQ2 具有有限个积累器（多于两个）的 RMA 码的渐近最小距离增长速率系数是多少？
• RQ3 最小距离增长速率与 Gilbert-Varshamov 界之间的差距如何随积累器数量变化？
• RQ4 对低码率 RMA 母码进行随机打孔，能否生成具有渐近线性距离增长且接近 Gilbert-Varshamov 界的高码率码？
• RQ5 在什么条件下，当块长度趋于无穷时，RMA 集合中低重量码字的期望数量趋于零？

主要发现

• 对于码率 $ R \to 1/3 $ 或更低的重复-积累-积累（RAA）码，最小距离随块长度渐近线性增长。
• 通过将积累器数量增加到两个以上，可使最小距离增长速率系数与 Gilbert-Varshamov 界之间的差距任意缩小。
• 对于码率 $ R = 1/3 $ 和 $ R = 1/4 $，RAAA 码集合的最小距离增长速率系数与 Gilbert-Varshamov 界完全一致。
• 对低码率 RMA 母码进行随机打孔，可使高码率 RAA 码实现渐近线性最小距离增长，且接近 Gilbert-Varshamov 界。
• 当块长度增加时，若基于熵的函数 $ F_\rho(\beta) $ 为负，则集合中低重量码字的期望数量趋于零，该条件在 $ \rho < 1/2 $ 且 $ \beta \neq 1 $ 时成立。
• 渐近分析证实，标准重复-积累（RA）码的最小距离呈次线性增长，而具有足够多积累器的 RAA 和 RAAA 码则呈线性增长。