[论文解读] Coding Theory and Projective Spaces

Natalia Silberstein|arXiv (Cornell University)|May 22, 2008

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 46被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于Ferrers图秩-距离码的射影空间中常维数码的多级构造方法，对大多数参数实现了目前已知最大的码。该研究建立了提升MRD码与横截设计之间的联系，推导出新的上界，并通过格拉斯曼流形子空间上的字典序实现了高效的枚举编码/译码。

ABSTRACT

The projective space of order $n$ over a finite field $\F_q$ is a set of all subspaces of the vector space $\F_q^{n}$. In this work, we consider error-correcting codes in the projective space, focusing mainly on constant dimension codes. We start with the different representations of subspaces in the projective space. These representations involve matrices in reduced row echelon form, associated binary vectors, and Ferrers diagrams. Based on these representations, we provide a new formula for the computation of the distance between any two subspaces in the projective space. We examine lifted maximum rank distance (MRD) codes, which are nearly optimal constant dimension codes. We prove that a lifted MRD code can be represented in such a way that it forms a block design known as a transversal design. The incidence matrix of the transversal design derived from a lifted MRD code can be viewed as a parity-check matrix of a linear code in the Hamming space. We find the properties of these codes which can be viewed also as LDPC codes. We present new bounds and constructions for constant dimension codes. First, we present a multilevel construction for constant dimension codes, which can be viewed as a generalization of a lifted MRD codes construction. This construction is based on a new type of rank-metric codes, called Ferrers diagram rank-metric codes. Then we derive upper bounds on the size of constant dimension codes which contain the lifted MRD code, and provide a construction for two families of codes, that attain these upper bounds. We generalize the well-known concept of a punctured code for a code in the projective space to obtain large codes which are not constant dimension. We present efficient enumerative encoding and decoding techniques for the Grassmannian. Finally we describe a search method for constant dimension lexicodes.

研究动机与目标

• 开发射影空间中常维数码的新构造与上界，这对随机网络编码至关重要。
• 建立提升MRD码与组合设计（特别是横截设计及其q-模拟）之间的联系。
• 通过基于子空间表示的字典序，实现在格拉斯曼流形空间中的高效枚举编码与译码。
• 改进常维数码大小的下界，尤其针对小的q值和小的最小距离。
• 探索由提升MRD码导出的码的结构与代数性质，包括其作为LDPC码的表示形式。

提出的方法

• 提出一种基于四个组件的常维数码多级构造：常权码、简化行阶梯形（RREF）、Ferrers图以及针对Ferrers图定制的秩-距离码。
• 引入Ferrers图秩-距离码，并推导其大小的上界，同时给出一种可达到该上界的构造方法。
• 将由提升MRD码导出的横截设计的关联矩阵用作汉明空间中线性码的校验矩阵，从而将射影空间码与经典编码理论联系起来。
• 对射影空间码应用广义删减操作，生成非恒定维数码，其规模显著大于多级构造所生成的码。
• 开发了三种格拉斯曼流形上的枚举编码技术：一种基于识别向量与RREF，一种基于Ferrers表格，以及一种混合方法以降低复杂度。
• 在基于子空间表示的格拉斯曼流形上引入字典序，通过搜索实现常维数字典码的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 提升MRD码能否表示为横截设计？该结构在码构造与分析中的意义是什么？
• RQ2 包含提升MRD码的常维数码大小的最紧致上界是什么？这些上界是否可达到？
• RQ3 如何基于不同的子空间表示，通过基于字典序的格拉斯曼流形上的枚举编码实现高效实现？
• RQ4 能否通过选择特定的常权码来优化多级构造，以最大化码的大小？
• RQ5 Ferrers图秩-距离码和常维数码的大小上界对所有参数是否都是紧致的？

主要发现

• 使用Ferrers图秩-距离码的多级构造在大多数参数下产生了目前已知最大的常维数码，仅在 $k=3$、$k=4$ 且 $n=8$ 以及某些字典码情况下除外。
• 提升MRD码可表示为横截设计，其关联矩阵可生成一个在汉明空间中的线性码，该码同时也是LDPC码。
• 本文推导出包含提升MRD码的常维数码大小的新上界，并为 $k=3$ 和 $k=4$ 且 $n=8$ 的情况构造出达到这些上界的码。
• 对射影空间码的删减操作可生成显著大于多级构造所生成码的非恒定维数码。
• 基于格拉斯曼流形上字典序的枚举编码技术相比先前方法具有更低的复杂度，其中混合方法降低了复杂度表达式中的常数因子。
• 基于搜索的常维数字典码构造方法生成的码在同类参数中属于目前已知最大的码，尤其在 $q=2$ 和小的 $n$ 值时表现突出。