[论文解读] Coefficient Estimates for Certain Subclass of Bi Functions Associated the Horadam Polynomials

Adnan Ghazy AlAmoush|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 7被引用 14

一句话总结

本文引入了一类基于Horadam多项式的新型双亚纯函数子类，并推导出初始系数 |a₂| 和 |a₃| 的精确估计值以及 Fekete-Szegő 不等式。结果推广了已知的双亚纯函数系数界，并可推广至切比雪夫多项式与斐波那契多项式等特殊情况，提供依赖于多项式参数及实参数 η 的显式边界。

ABSTRACT

In the present article, our goal is finding estimates on the Taylor-Maclaurin coefficients |a2| and |a3| for a new class of bi-univalent functions defined by means of the Horadam polynomials. Fekete-Szego inequalities of functions belonging to this subclass are also founded.

研究动机与目标

• 通过 Horadam 多项式定义双亚纯函数的新子类。
• 在该新类中推导 Taylor-Maclaurin 系数 |a₂| 和 |a₃| 的精确上界。
• 为该子类中的函数建立参数化为实数 η 的 Fekete-Szegő 不等式。
• 通过引入多项式递推结构与生成函数，推广已知的系数估计。
• 作为特例恢复已知结果，如切比雪夫与斐波那契多项式的情形。

提出的方法

• 通过涉及 Horadam 多项式生成函数 Ω(x,z) 的次序条件定义函数类 Σ′(x)。
• 利用递推关系 hₙ(x) = p x hₙ₋₁(x) + q hₙ₋₂(x)，初始值 h₁ = a，h₂ = b x 来建模多项式结构。
• 通过次序理论，将 f′(z) ≺ Ω(x,z) + 1 − α 与 g′(w) ≺ Ω(x,w) + 1 − α 表示，其中 g 是 f 的逆函数。
• 通过匹配 f′(z) 与 g′(w) 的泰勒展开系数，将 a₂、a₃ 与多项式系数 h₂(x)、h₃(x) 及 Schwarz 函数系数关联。
• 利用 Schwarz 函数系数的有界性（|pᵢ| ≤ 1，|qᵢ| ≤ 1）推导系数不等式。
• 应用 Fekete-Szegő 型泛函 |a₃ − η a₂²|，并通过基于导出参数 Θ(η,x) 大小的分情况分析进行研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通过 Horadam 多项式定义的新双亚纯函数子类中，|a₂| 和 |a₃| 的精确上界是什么？
• RQ2 该子类的 Fekete-Szegő 不等式行为如何？其对参数 η 的依赖关系是怎样的？
• RQ3 已知的双亚纯函数系数估计是否可作为该广义框架的特例被恢复？
• RQ4 Horadam 多项式生成函数 Ω(x,z) 在定义与分析系数界中起什么作用？
• RQ5 在不同特例中（如切比雪夫、斐波那契、佩尔多项式）边界如何变化？

主要发现

• |a₂| 的精确上界为 |a₂| ≤ |b x| √|b x| / √|b x² (3b − 4p) − 4a q|，由系数匹配与 Schwarz 引理约束导出。
• |a₃| 的边界为 |a₃| ≤ |b x| / 3 + (b x)² / 4，通过系数比较与 Schwarz 函数系数有界性获得。
• 对于 Fekete-Szegő 泛函 |a₃ − η a₂²|，其边界取决于 |η − 1| 相对于阈值 1 − |4(p b x² + q a)| / (3 b² x²) 的大小，分为两种情形。
• 当 |η − 1| ≤ 1 − |4(p b x² + q a)| / (3 b² x²) 时，边界为 |2 b x| / 3；否则，边界为 |b x|³ |1 − η| / |3 b² x² − 4(p b x² + q a)|。
• 当 a = 1，b = p = 2，q = −1，且 x → t ∈ (1/2, 1) 时，结果可恢复切比雪夫多项式的已知估计，得到 |a₃ − a₂²| ≤ 4t/3（当 η = 1 时）。
• 该框架通过单一参数化多项式模型，统一了斐波那契、卢卡斯、佩尔及佩尔-卢卡斯多项式等经典正交多项式类的系数估计。