[论文解读] Coercive functions from a topological viewpoint and properties of minimizing sets of convex functions appearing in image restoration

René Ciak|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文在图像恢复的背景下，通过拓扑与变分分析研究了凸函数的强制函数及其极小化集。研究证明，关键最优性条件中的等式仅在候选点不是极小化点时才成立，通过 Ψ(x) = x² 的反例说明了该条件的必要性。

ABSTRACT

Many tasks in image processing can be tackled by modeling an appropriate data fidelity term $Φ: \mathbb{R}^n ightarrow \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ and then solve one of the regularized minimization problems \begin{align*} &{}(P_{1,τ}) \qquad \mathop{ m argmin}_{x \in \mathbb R^n} \big\{ Φ(x) \;{ m s.t.}\; Ψ(x) \leq τ\big\} \\ &{}(P_{2,λ}) \qquad \mathop{ m argmin}_{x \in \mathbb R^n} \{ Φ(x) + λΨ(x) \}, \; λ> 0 \end{align*} with some function $Ψ: \mathbb{R}^n ightarrow \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ and a good choice of the parameter(s). Two tasks arise naturally here: \begin{align*} {}& ext{1. Study the solver sets ${ m SOL}(P_{1,τ})$ and ${ m SOL}(P_{2,λ})$ of the minimization problems.} \\ {}& ext{2. Ensure that the minimization problems have solutions.} \end{align*} This thesis provides contributions to both tasks: Regarding the first task for a more special setting we prove that there are intervals $(0,c)$ and $(0,d)$ such that the setvalued curves \begin{align*} τ\mapsto {}& { m SOL}(P_{1,τ}), \; τ\in (0,c) \\ {} λ\mapsto {}& { m SOL}(P_{2,λ}), \; λ\in (0,d) \end{align*} are the same, besides an order reversing parameter change $g: (0,c) ightarrow (0,d)$. Moreover we show that the solver sets are changing all the time while $τ$ runs from $0$ to $c$ and $λ$ runs from $d$ to $0$. In the presence of lower semicontinuity the second task is done if we have additionally coercivity. We regard lower semicontinuity and coercivity from a topological point of view and develop a new technique for proving lower semicontinuity plus coercivity. Dropping any lower semicontinuity assumption we also prove a theorem on the coercivity of a sum of functions.

研究动机与目标

• 理解强制性与拓扑性质在刻画凸函数极小化集中的作用。
• 澄清最优性条件中等式成立的条件，特别关注非极小化点的必要性。
• 研究子水平集的结构及其与变分问题中次微分的关系。
• 为依赖凸极小化的图像恢复模型提供理论基础。

提出的方法

• 以 Ψ(x) = x² 作为典型例子，检验最优性条件。
• 考察在极小化点 x* = 0 ∈ int(dom Ψ) 处的子水平集 S = lev_Ψ(0)Ψ = {0}。
• 将次微分所张成的正射线 R_+ ∂Ψ(x*) = {0} 与指示函数 ∂ι_S(x*) 进行比较。
• 运用拓扑论证表明，当 x* 为极小化点时，最优性条件中的等式不成立。
• 应用变分分析工具，包括次微分微分学与指示函数，研究极小化集。
• 通过反证法，利用给定例子确立非极小化点条件的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，凸函数的最优性条件 (LABEL:wichtig) 中的等式成立？
• RQ2 为何 x* 不是极小化点对于实现给定条件中的等式至关重要？
• RQ3 在极小化点 x* = 0 处，Ψ 与指示函数 ι_S 的次微分之间有何关系？
• RQ4 哪些拓扑与变分性质刻画了凸优化中的极小化集？
• RQ5 例子 Ψ(x) = x² 如何说明非极小化点条件的必要性？

主要发现

• 当 x* 为极小化点时，最优性条件 (LABEL:wichtig) 中的等式不成立，这通过反例 Ψ(x) = x² 得到验证。
• 在 x* = 0 处，次微分 R_+ ∂Ψ(x*) = {0} 严格包含于完整的次微分 ∂ι_S(x*) = R，显示出严格包含关系。
• 集合 S = lev_Ψ(0)Ψ = {0} 为单点集，表明极小化点是孤立的，且子水平集是平凡的。
• 分析确认，x* 不是极小化点的条件对于实现所述最优性条件中的等式至关重要。
• 该例子表明，强制性与定义域的拓扑结构会影响极小化点处次微分的行为。
• 该结果凸显了在凸分析中应用于极小化点时，次微分微分学中一个微妙但关键的区别。