[论文解读] Coexistence in three type last passage percolation model

David Coupier, Philippe Heinrich|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 2

一句话总结

本文通过定向最后通过渗滤研究二维格点上的三类型竞争模型，证明了在正概率下三类可长期共存。关键贡献在于几乎必然地确定了竞争界面的渐近角度，表明这些角度以正概率不同，该结果通过渗滤树子树中的随机控制关系实现。

ABSTRACT

A three types competition model governed by directed last passage percolation on N 2 is considered. We prove that coexistence of the three types, i.e. the sets of vertices of the three types are simultaneously unbounded, occurs with positive probability. Moreover, the asymptotic angles formed by the two competition interfaces with the horizontal axis are determined and their probability of being different is positive. As a key step, a stochastic domination between subtrees of the last passage percolation tree is obtained.

研究动机与目标

• 通过定向最后通过渗滤分析二维格点上三类型竞争模型中的共存问题。
• 确定所有三类是否能同时在格点中占据无界区域。
• 表征竞争界面与水平轴形成的渐近角度。
• 建立这些角度不同的概率，以指示不同的生长方向。

提出的方法

• 在整数格点 Z² 上定义一个定向最后通过渗滤模型，顶点上分配独立同分布的权重。
• 三类通过沿最大化通过时间的路径生长，形成类似树的路径结构。
• 在最后通过渗滤树的子树之间建立随机控制关系，以比较生长速率和界面行为。
• 利用耦合和路径比较技术推导竞争界面的渐近角度。
• 通过路径偏离和大尺度几何性质分析不同界面角度的概率。
• 证明依赖于耦合论证和单调路径族的构造，以控制界面波动。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Z² 上的三类型竞争模型中，三类是否能以正概率实现无界增长的共存？
• RQ2 该模型中两条竞争界面与水平轴形成的渐近角度是什么？
• RQ3 两条竞争界面形成不同角度的概率是否严格为正？
• RQ4 三类的生长动力学在大尺度极限下如何相互作用？
• RQ5 最后通过渗滤树的子树之间存在何种随机控制性质，以支持界面行为的分析？

主要发现

• 在三类型最后通过渗滤模型中，三类可共存（每类占据无界顶点集）的概率为正。
• 两条竞争界面与水平轴形成的渐近角度在大尺度极限下几乎必然有定义且为确定性值。
• 两条竞争界面具有不同渐近角度的概率严格为正。
• 在最后通过渗滤树的子树之间建立了随机控制关系，使生长速率和界面方向的比较成为可能。
• 界面角度由底层权重分布和渗滤模型中最大路径的几何结构决定。
• 结果表明，界面粗化和方向选择自然地从模型中的路径最大化原则中涌现。