[论文解读] Cofibrantly generated natural weak factorisation systems

Richard Garner|ArXiv.org|Feb 12, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文引入了通过改进的小对象构造法构建的、由生成上纤维化生成的自然弱因子分解系统（n.w.f.s.），作为标准弱因子分解系统的代数增强。该方法生成更小、更易处理的因子分解。证明了所得的n.w.f.s. 在范畴论的精确意义下，由其生成上纤维化自由生成，并且带结构的态射类别在所有相关范畴构造（包括极限、余极限、超限复合）下封闭。

ABSTRACT

There is an ``algebraisation'' of the notion of weak factorisation system (w.f.s.) known as a natural weak factorisation system. In it, the two classes of maps of a w.f.s. are replaced by two categories of maps-with-structure, where the extra structure on a map now encodes a choice of liftings with respect to the other class. This extra structure has pleasant consequences: for example, a natural w.f.s. on C induces a canonical natural w.f.s. structure on any functor category [A, C]. In this paper, we define cofibrantly generated natural weak factorisation systems by analogy with cofibrantly generated w.f.s.'s. We then construct them by a method which is reminiscent of Quillen's small object argument but produces factorisations which are much smaller and easier to handle, and show that the resultant natural w.f.s. is, in a suitable sense, freely generated by its generating cofibrations. Finally, we show that the two categories of maps-with-structure for a natural w.f.s. are closed under all the constructions we would expect of them: (co)limits, pushouts / pullbacks, transfinite composition, and so on.

研究动机与目标

• 定义由生成上纤维化生成的自然弱因子分解系统，作为标准弱因子分解系统的代数增强。
• 开发一种构造性方法，生成此类n.w.f.s.，其生成的因子分解比Quillen原始的小对象构造更小、更易处理。
• 证明所得的n.w.f.s. 在范畴论的精确意义下，由其生成上纤维化自由生成。
• 建立带结构的态射类别（L-态射与R-态射）在所有标准范畴构造（如余极限、极限、上向极限、下向极限）下封闭。

提出的方法

• 将Quillen的小对象构造法改编，用于在箭图范畴 ${{\rm C}}^{{\bf 2}}$ 上构造一个余单子，生成具有显式结构因子分解的自然弱因子分解系统。
• 在范畴 $\mathcal{C}$ 上的范畴范畴 $\mathbf{Cat}/\mathcal{C}$ 中使用左Kan扩张来计算底层的函子性因子分解，确保与定义域和余定义域函子的相容性。
• 通过在 $\mathbf{Cat}/\mathcal{C}$ 中的左扩张构造余单子 $\mathsf{L}^1$，以编码 $\mathcal{L}$-态射的代数结构。
• 采用上向极限校正步骤，确保所得因子分解是函子性的，并尊重定义域函子，从而得到一个在 $\mathrm{dom}$ 上的余单子 $\mathsf{L}^1$。
• 通过普遍性质和Kan扩张技术，证明所得的 $\mathcal{L}$-态射与 $\mathcal{R}$-态射分别构成在余极限和极限下封闭的范畴。
• 通过显式计算余极限与上向极限结构，验证该构造与第5.2节中定义的显式余单子一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以保持代数结构与函子性的方式定义由生成上纤维化生成的自然弱因子分解系统？
• RQ2 在自然弱因子分解系统的语境下，能否通过修改的小对象构造法生成更小、更显式的因子分解？
• RQ3 $\mathcal{L}$-态射与 $\mathcal{R}$-态射的范畴是否在所有标准范畴构造（如余极限、极限、上向极限、下向极限）下封闭？
• RQ4 所得n.w.f.s. 在何种精确范畴论意义下由其生成上纤维化自由生成？
• RQ5 在 $\mathbf{Cat}/\mathcal{C}$ 中通过Kan扩张与左扩张的抽象构造，是否与第5.2节中的显式构造产生相同的因子分解？

主要发现

• 本文通过左Kan扩张与上向极限校正，在 ${{\mathcal{C}}^{{\mathbf{2}}}}$ 上构造了余单子 $\mathsf{L}^1$，生成具有结构化因子分解的自然弱因子分解系统。
• 所得的 $\mathcal{L}$-态射与 $\mathcal{R}$-态射分别构成在所有余极限与极限下封闭的范畴，推广了经典封闭性质。
• 通过Kan扩张与 $\mathbf{Cat}/\mathcal{C}$ 中左扩张的构造，生成的底层函子性因子分解与第5.2节中的显式构造一致，确认了构造的一致性。
• $\mathcal{L}$-态射在上向极限、重取、上向极限复合下封闭，其结构通过余单子作用得以保持。
• $\mathcal{R}$-态射在下向极限、重取、极限下封闭，其结构通过单子作用得以保持。
• 所得的自然弱因子分解系统在范畴论意义下，由其生成上纤维化自由生成，即为唯一扩展生成数据的初始此类结构。